1. Доказать, что если группа G коммутативна, то и факторгруппа G / H коммутативна.
2. Доказать, что G /{e}» G, G / G» {e}.
Рассмотрим поэлементное произведение смежных классов: g1H×g2H = { g1hg2h¢ | h, h¢ Î H}. Очевидно, g1H×g2H =
= g1(g2g2-1)Hg2H = g1g2(g2-1Hg2)H = g1g2HН = g1g2H (легко видеть, что НН = Н, так как НН Í Н, и уже Нe = Н). Кроме того, (gH) -1= {(gh) -1 | h Î H} = Н -1g-1= Нg-1= (g-1g)Hg-1=
= g -1(gHg -1) = g -1H (очевидно, Н -1 = Н, = eН = Н).
Таким образом, операцию умножения смежных классов на фактормножестве G / H можно определять как операцию поэлементного умножения классов: g1H×g2H = g1g2H. При таком определении мы тоже получили бы на G / H структу-
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление