Тема: Розподіл Больцмана. Барометрична формула. Другий початок термодинаміки. Ентропія. Теорема Нернста. Основне рівняння термодинаміки

Лекція № 16.

Нехай газ знаходиться в зовнішнім полі потенціальних консервативних сил, що діють в одному напрямку і залежать тільки від координати z. При тепловій рівновазі температура Т повинна бути однакова по всій товщині газу, інакше б виникли потоки тепла, і стан газу не був би рівноважним. Знайдемо залежність концентрації газу від висоти.

Виділимо у думках нескінченно вузький шар газу товщиною dz із площею перерізу стовпа, що дорівнює одиниці (S=1). Запишемо умову рівноваги цього шару, використовуючи гідростатичний підхід. На шар dz діє спрямована нагору сила, що обумовлена різницею тисків dp (dp < 0), і сила, що діє вниз з боку зовнішнього поля. При рівновазі повинне дотримуватися рівність:

,

де F_z – проекція зовнішньої сили, що діє на кожну молекулу. З механіки відомо, що , де U – потенціальна енергія молекули в зовнішнім полі. Тому можна записати: . Для ідеального газу зв'язок між тиском і температурою визначається співвідношенням: . Продиференціюємо останню формулу за часом враховуючи, що : . В остаточному підсумку одержуємо: або:

.

Проінтегрувавши останнє рівняння, одержуємо: . Будемо вважати, що при , а потенціальна енергія частинки на висоті z в однорідному полі тяжіння: . Тоді формула залежності концентрації молекул від висоти приймає вигляд:

.

Отримана закономірність і виражає розподіл Больцмана. За допомогою отриманої формули можна знайти кількість молекул у цікавлячому нас елементарному об’ємі: .

Помноживши ліву і праву частини розподілу Больцмана на kТ, одержимо барометричну формулу, що виражає залежність тиску від висоти:

.

З огляду на те, що маса частинки і , остаточно одержуємо:

.

Слід зазначити, що отримана формула справедлива тільки для ідеального газу, температура якого не залежить від висоти.

Дата добавления: 2014-01-04