Довірчий інтервал лінії регресії

Довірчі інтервали для параметрів регресійної моделі визначаються відповідно до заздалегідь вибраного рівня значущості за їх стандартними відхиленнями. Так, напівширина довірчого інтервалу для при рівні значущості визначається за формулою:

,

де для малих вибіркових сукупностей величину знаходять за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента для заданого рівня значущості і кількості ступенів свободи . Для великих вибірок визначається як аргумент функції Лапласа відповідно до умови .

Тоді параметр рівняння регресії у генеральній сукупності з надійністю попадатиме до інтервалу:

.

Аналогічно можна записати формулу і для параметра регресійної моделі:

.

Оскільки всі параметри рівняння регресії, яке побудоване за результатами вибірки, є статистичними оцінками значень відповідних характеристик генеральної сукупності, тобто обчислюються з певною точністю, то вибіркове рівняння в цілому, а також відповідна йому лінія регресії теж є статистичними оцінками. Отже, навколо ліній регресії, що побудовані за відповідними вибірковими рівняннями, доцільно визначати довірчу смугу, до якої з певною надійністю належатиме теоретична лінія регресії, тобто лінія, що відповідає функції, яка описує кореляційний зв’язок між факторами в генеральній сукупності. Так, для кожного значення випадкової величини межі 95 %-ї довірчої смуги обчислюються відповідно до формули:

. (17.6)

Рівняння (17.6) є рівнянням гіперболи в ортогональній системі координат, початок координат якої знаходиться у центрі вибіркової сукупності, уявною напіввіссю цієї гіперболи є виправлене середнє квадратичне відхилення , а її дійсною напіввіссю – величина

.

За рівнянням (17.6) визначаються точні межі довірчої смуги. Наближено цю смугу можна побудувати наступним чином. Якщо значення випадкової величини не виходять за межі проміжку , то маємо напівширину:

, (17.7)

тобто в цих межах довірчу смугу можна зобразити двома паралельними лініями, одна з яких зсунута вниз, а інша – вгору на величину , що визначається за формулою (17.7). Отже, маємо паралелограм, що утворено цими паралельними лініями і лініями границь проміжку. Межами довірчої смуги зовні цього проміжку є продовження діагоналей паралелограма.

У межах довірчої смуги лінія регресії може повертатись навколо центра вибіркової сукупності . Якщо кут, на який може здійснюватись поворот лінії регресії, наближається до 90⁰, точність такої моделі дуже невелика.

Приклад. За вибірковою сукупністю обсягом обчислені оцінки основних числових характеристик системи двох випадкових величин:

; ; ; ; .

Побудувати рівняння регресії у припущенні лінійного зв’язку і довірчу смугу, до якої з надійністю 95 % належатиме лінія регресії генеральної сукупності.

Розв’язання. Обчислюємо параметри моделі:

;

.

Отже, вибіркове рівняння регресії має вигляд:

.

Для побудови лінії регресії за цим рівнянням обчислюють дві будь-які точки (рис. 17.1).

Рис. 17.1. Лінія регресії і межі довірчої смуги для

Побудуємо межі довірчої смуги при рівні надійності 95 %. За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента знаходимо . За формулою (17.6) обчислюємо , потім верхню границю межі визначаємо шляхом додавання до значення , що отримано за вибірковим рівнянням регресії, а нижню – шляхом віднімання. Результат наведено на рис. 17.1.

Дата добавления: 2014-01-04