Приклад 1.12

Приклад 1.11

Приклад 1.10

Приклад 1.9

Визначити термін у роках, за який внесок 100 тис. грн, зросте до 300 тис. грн. при нарахуванні відсотків по простій ставці 14% річ­них.

Вкладник збирається покласти в банк суму 500 тис. грн. з ме­тою нагромадження 1 млн. грн. Ставка відсотків банка дорівнює 30% річних. Визначити термін у днях, за який вкладник зможе нагромади­ти необхідну суму (розрахункова кількість днів у році дорівнює 365).

З формули (3) можна також визначити ставку простих відсо­тків при інших заданих умовах:

(1.10)

Вкладник, що вирішив покласти на депозит 200 тис. грн., хоче нагромадити через рік не менш 400 тис, грн. Визначити просту ставку відсотків, на підставі якої він може зробити вибір банку.

Вкладник збирається покласти в банк 300 тис. грн. для того щоб через 100 днів нагромадити 400 тис. грн. Визначити необхідну ставку відсотків по вкладах при кількості днів у році, рівному 365.

Використовуючи формулу для нарощеної суми (3), можна вирішувати зворотну задачу - визначати суму внеску при заданих зна­ченнях суми внеску з нарахованими відсотками, терміну внеску і ста­вки відсотків:

(11)

Розглянуту операцію називають дисконтуванням по простій ставці відсотків. Термін “дисконтування” у широкому змісті означає визначення значення P вартісної величини на деякий момент часу за умови, що в майбутнім вона буде дорівнена заданому значенню S, По­дібні розрахунки називають також приведенням вартісного показника до заданого моменту часу, а значення P, визначене дисконтуванням S, називають сучасним, чи приведеним, значенням вартісної величини, Дисконтування дозволяє враховувати у фінансово-економічних розрахунках фактор часу.

Вираження (11) можна також записати у виді:

P = Sk_д,

де k_д - коефіцієнт дисконтування;

Як легко бачити, коефіцієнт дисконтування є зворотною вели­чиною множника (коефіцієнта) нарощення.

Приклад 1.13

Вкладник збирається покласти гроші в банк із метою нагрома­дження через рік 500 тис. грн. Банк нараховує відсотки по ставці 25% річних. Визначити необхідну суму внеску.

Приклад 1.14

Банк нараховує відсотки на вклади до запитання по ставці 12% річних із використанням німецької практики. Визначити, яку суму треба покласти в банк 20 травня, щоб 5 серпня того ж року одержати 300 тис. грн.

2 Нарахування складних відсотків

При нарахуванні складних відсотків процентні гроші, нарахо­вані після першого періоду нарахування, що є частиною загального терміну збереження внеску, не виплачуються, а приєднуються до суми внеску. На другому періоді нарахування відсотки будуть нараховува­тися, виходячи з первісної суми внеску, збільшеної на суму відсотків, нарахованих після першого періоду нарахування, і так далі на кожнім наступному періоді нарахування. Таким чином, база для нарахування складних відсотків у відмінності від використання простих відсотків буде збільшуватися з кожним періодом нарахування, що є частиною загального терміну збереження внеску.

Якщо відсотки на періоді нарахування нараховуються по по­стійній складній ставці і_П і всі періоди нарахування мають од­накову тривалість, сума внеску з відсотками наприкінці першого періоду буде дорівнювати:

S_{1 =} P(l + i_n)

Сума внеску з відсотками наприкінці другого періоду буде дорівнювати:

Якщо протягом терміну збереження внеску буде N однакових періодів нарахування, сума внеску з відсотками наприкінці терміну

складе: s = P(i + i_n)^N.

Сума нарахованих відсотків буде дорівнювати:

S_i = S − P = P((1 + i_П)^N−1). (ІЗ)

Приклад 1.15

Депозит у розмірі 500 тис. грн. покладений у банк на 3 роки. Визначити суму нарахованих відсотків при простій і складної ставках відсотків, рівних 30% річних.

Якщо термін збереження внеску в літах n не є цілим числом, множник нарощення можна визначити двома способами. При пер­шому способі використовують формулу (12) із відповідним нецілим показником ступеня. При другому способі (змішаний метод) множник нарощення визначається по вираженню:

(14)

де n = n_а+n_В;

n_а - ціле число років;

n_В - дробова частина року, що залишилася.

З погляду сутності нарахування відсотків другий спосіб (змі­шаний метод) є точним, а перший - наближеним, що дає меншу вели­чину множника нарощення і, отже, нарахованих відсотків.

Приклад 1.16.

Банк нараховує відсотки на внески по складній ставці 40% рі­чних. Визначити суму нарахованих відсотків, якщо внесок 100 тис. гри. був затребуваний через 2,5 роки.

Нарахування складних відсотків може здійснюватися кілька разів у році (наприклад, по місяцях, кварталам, півріччям), У цих ви­падках вказується або ставка відсотків за період, або річна ставка від­сотків, виходячи, із який, визначається ставка відсотків на період нарахування, іншими словами, номінальна ставка відсотків.

Сума внеску з відсотками (нарощена сума) при терміну п років у цих випадках буде дорівнювати:

S = P(1 + i_П)^N=P(1 + j/m)^N, (15)

де і - ставка на періоді нарахування;

j - номінальна річна ставка відсотків;

m - кількість періодів нарахування в році;

N - кількість періодів нарахування протягом терміну збереження внеску;

N = nm.

Сума нарахованих відсотківскладе:

S_i = S−P = P((1 + i_П)^N −1) = P((1 + j/m)^N −1) (16)

Приклад 1.17

Банк нараховує складні відсотки кілька разів у році по номіна­льній річній ставці 28% річних. Визначити ставку відсотків на періоді нарахування, якщо відсотки нараховуються: а) щомісяця; б) щоквар­талу; в) по півріччях.

Приклад 1.18

Складні відсотки на внески нараховуються щокварта­лу по номінальній річній ставці 30% річних. Визначити суму відсот­ків, нарахованих на внесок 200 тис. грн. за 2 роки.

З формул для нарощеної суми при нарахуванні складних від­сотків один/чи кілька разів у році можна одержати вираження для те­рміну збереження при заданих інших умовах. При використанні скла­дної річної ставки відсотків термін збереження в роках буде дорів­нювати:

log S

^1о8(^{1 + і}). (17)

Приклад 1.19

Банк нараховує складні відсотки по ставці 20% річних. Визначи­ти термін у роках, за який внесок 250 тис. грн. зростає до 400 тис. грн.

З формул для нарощеної суми можна також визначити ставку складних відсотків при інших заданих умовах:

(18)

Приклад 1.20

Визначити річну ставку складних відсотків, при використанні якої внесок на 3 роки подвоїться.

З формул для нарощеної суми можна також визначити значен­ня первісної суми внеску, чи, інакше кажучи, здійснити дисконтуван­ня майбутньої суми внеску з відсотками S по складній ставці відсот­ків. При використанні річної ставки складних відсотків і і терміну збереження внеску n років дисконтованим значення майбутньої су­ми внеску з відсотками буде дорівнює:

(19)

де kД - коефіцієнт дисконтування (приведення);

Приклад 1.21

Банк щорічно нараховує складні відсотки на внески по ставці 20% річних. Визначити суму, яку треба покласти в банк, щоб через 3 роки нагромадити 1 млн. грн. При нарахуванні складних відсотків кілька разів у році диско­нтований сума буде дорівнювати:

(20) Приклад 1.22

На внески щокварталу нараховуються складні відсотки по но­мінальній річній ставці 30% річних. Визначити, яку суму треба покла­сти на внесок для нагромадження через 3 квартали 500тис. грн.

Нарахування відсотків при регулярних внесках

Якщо внески на депозитні рахунки вносяться регулярно одна­ковими сумами через однакові періоди, можна відразу визначити суму внеску з нарахованими відсотками і суму нарахованих відсотків за весь термін. Наприклад, якщо щорічно наприкінці кожного року про­тягом п років на депозитний рахунок буде надходити сума R, а відсот­ки на суму, що зберігається, будуть нараховуватися по складній річній ставці і, суми послідовних внесків із відсотками, нарахованими на момент закінчення терміну збереження депозиту, по формулі (12) будуть рівні:

S₁ = R1i ()⁺ⁿ₁

S₂ = R(l + і)""²

S_n-1 = R(1+i), S_n=R.

Застосувавши до суми всіх значень S₁ (t= I, 2,...,п) формулу для суми членів геометричної прогресії, одержуємо:

(21)

Послідовність грошових надходжень, здійснюваних рівними сумами через рівні періоди, називають постійною фінансовою рен­тою, а суму всіх таких надходжень - нарощеною величиною фінан­сової ренти.

Приклад 1.23

На депозитний рахунок протягом 5 років будуть щорічно на­прикінці кожного року вноситися сума 500 тис. грн., на котрі будуть нараховуватися складні відсотки по ставці 80% річних. Визна­чити суму відсотків, що банк виплатить власнику рахунка.

Приклад 1.24

У пенсійний фонд щорічно наприкінці року будуть вноситися суми 50 тис. грн., на котрі будуть нараховуватися складні відсотки по ставці 20% річних. Визначити суми, накопичені у фонді протягом: а) 10 років; б) 20 років; в) 30 років.

Якщо внески в розмірі R, будуть вноситися р раз у році напри­кінці розрахункових періодів і на суми на рахунку m раз у році, будуть нараховуватися складні відсотки по номінальній річній ставці j,вираження для суми усіх внесків із нарахованими відсотками за n років, яке можна одержати аналогічним образом, буде мати вид:

Приклад 1.25

У пенсійний фонд наприкінці кожного кварталу будуть вноси­тися суми 12,5 тис. грн., на котрі також щокварталу будуть нарахову­ватися складні відсотки по номінальній річній ставці 10% річних, Ви­значити суму, накопичену у фонді за 20 років.

З формул для нарощеної суми послідовності внесків (21) і (22) можна визначити розміри внесків при інших заданих умовах:

(^{1 + І})^П-1, (23)

(24)

Приклад 1.26

На внески в пенсійний фонд, внесені щорічно наприкінці року, будуть нараховуватися складні відсотки по ставці 15% річних. Визна­чити розмір щорічних внесків, необхідний для нагромадження через 20 років суми 20 млн. грн.

Якщо однакові суми R будуть надходити на депозитний раху­нок на початку кожного року, то сума всіх надходжень із нарахова­ними відсотками через п років, визначена аналогічним образом, буде дорівнювати:

(25)

Приклад 1.27

На депозитний рахунок із нарахуванням складних відсотків по ставці 30% річних будуть щорічно протягом 5 років вноситися суми 500 тис. грн. Визначити суму відсотків, що банк виплатить власнику рахунка, якщо суми будуть вноситися на початку року.

Приклад 1.28

Визначити суму, накопичену в пенсійному фонді за 10 років, якщо внески у фонд у розмірі 50 тис. грн. будуть вноситися щорічно, на початку року

Приклад 1.30

Внески в пенсійний фонд будуть вноситися на початку кожно­го року з щорічним нарахуванням на них складних відсотків по ставці 10% річних. Визначити розмір внесків, необхідних для нагромаджен­ня через 30 років суми 40 млн. грн.

Приклад 1.31

Внески в пенсійний фонд будуть вноситися на початку кожно­го місяця, і на них будуть щокварталу нараховуватися складні відсот­ки по номінальній ставці 16% річних. Визначити розмір внеску, якщо за 20 років у фонді повинна бути накопичена сума 40 млн. грн.

Порівняння прибутковості різних видів внесків

У рекламних оголошеннях банків і фінансових компаній, спрямованих на залучення внесків, умови нарахування відсотків мо­жуть указуватися всіляким образом. Оскільки умови нарахування від­сотків є одним з основних факторів при виборі чи банку фінансової компанії для розміщення засобів, необхідно їхній порівнювати по де­якому загальному показнику. Як такий показник звичайно, використо­вується еквівалентна (ефективна) річна ставка простих чи склад­них відсотків.

Прибутковість короткострокових (до року) внесків може бути визначена по ефективній ставці простих відсотків аналогічно формулі (10), у чисельник якої варто підставляти значення суми нарахованих відсотків, обумовлене відповідно до конкретних умов їхнього нараху­вання.

Якщо в оголошенні чи банку фінансової компанії говориться, що внески приймаються з щомісячної (щоквартальної) виплатою від­сотків без указівки на їхнє приєднання до суми основного внеску, це означає, що використовуються прості відсотки з річною ставкою

де I- сума відсотків, нарахованих на періоді нарахування;

P- сума внеску;

n- тривалість періоду нарахування в літах.

Відношення І до P являє собою ставку відсотків на періоді на­рахування. Отже, ефективна ставка відсотків буде дорівнювати:

(29)

де N - кількість періодів нарахування в році.

Якщо на внески нараховуються складні відсотки кілька разів у році, ефективна річна ставка відсотків може бути визначена, виходячи з умови, що отриманий доход (сума відсотків) I буде дорівнювати до­ходу, що був би отриманий при розміщенні тієї ж самої суми P на той же термін п по ефективній річній ставці простих відсотків і_Е:

Отже, ефективна річна ставка відсотків буде визначатися спів­відношенням:

(30)

По формулі (16) доход, одержуваний при нарахуванні склад­них відсотків кілька разів у році, буде дорівнювати

і ефективна річна ставка відсотків відповідно до відношення (30) бу­де визначатися формулою

(31)

Значення ставки відсотків на періоді нарахування може зада­ватися, чи безпосередньо визначатися на основі заданого значення номінальної річної ставки відсотків. При цьому значення ефективної річної ставки відсотків, що відповідає заданому значенню номінальної річної ставкиj, по формулі (31) при п=1 і N = m буде дорівнювати:

Приклад 1.32

Банк нараховує складні відсотки на внески по номінальній рі­чній ставці 40%. Визначити прибутковість внесків по ефективній річ­ній ставці відсотків при їхньому нарахуванні: а) по півріччях; б) що­кварталу; в) щомісяця.

При визначенні реальної прибутковості вкладних операцій ва­рто враховувати оподатковування. З урахуванням податку доход складе:

І_Н=І-ІС_Н=І(1-С_Н)

де С_н - ставка податку у відносних одиницях.

Реальна прибутковість у виді ефективної річної ставки відсот­ків буде при цьому

Дата добавления: 2014-01-04