Функції багатьох змінних

План

1. Означення, область визначення, графік, лінії рівня.
2. Границя функції та неперервність.
3. Частинні прирости, частинні похідні, градієнт.
4. Повний приріст і диференціал.
5. Похідна складної функції.
6. Похідна неявно заданої функції.
7. Приріст в напрямку, похідна в напрямку.
8. Похідні вищих порядків.
9. Дослідження на екстремум. Дослідження на найменше і найбільше значення в закритій області.

(Б-Н 325,327,329,330,331,334а, 335,338-350,353,357-365,371,373)

Означення: - функція n змінних, яка набору n чисел ставить у відповідність одне число.

Приклад. .

При n=2 - функція двох змінних.

Приклад. .

Графік функції двох змінних – це поверхня.

z z=f(x,y) Точці М площини Оxy з координатами М(x,y) ставиться у

відповідність число z, яке відкладаємо на осі Oz.

z

y y

x

x MM

Область визначення функції двох змінних – це область допустимих значень для пар (x,y), тобто це деяка частина площини Оxy, при яких можна обчислити значення функції.

ОДЗ зображаємо на площині Oxy, заштриховуючи її. Це також проекція графіка функції на площину Oxy.

Приклад:

2

коло з центром в початку координат і радіусом 2.

ОДЗ -- круг з центром в початку координат і радіусом 2.

При n=3 - функція трьох змінних.

Приклад.

Точці простору з координатами (x,y,z) ставиться у відповідність одне число u. Можна уявляти, що це число u(x,y,z) є температурою, густиною чи іншою характеристикою об`ємного тіла в кожній його точці.

Область визначення функції трьох змінних це область допустимих значень x,y,z, тобто частина простору Oxyz.

Приклад.

це перший октант простору, де всі змінні додатні, без координатних площин.

Лінії рівня функції двох змінних це лінії в площині Oxy з рівняннями z=c, c=const, тобто Це лінії, в точках яких функція набуває однакового значення с.

Приклад. Зобразити лінії рівня (ізокванти) виробничої функції .

Q=const=c, LK=c, K=c/L – гіперболи K

с=1: K=1/L, c=2: K=2/L,… c=3

Границя функції c=2

Надалі розглядатимемо в основному ф-ції двох змінних. c=1

L

Окіл точки в площині Oxy – це круг з центром в т. і радіусом без межі.

z

A z=f(x,y

y

Дата добавления: 2014-01-04