Запитання. Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі

Визначення

Визначення

Визначення

Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі. Універсальна множина позначається символом U.

Зауважимо, що універсальна множина U може бути індивідуальною для кожної окремої задачі і визначається в її умові.

Приклад. Розглянемо деяку групу студентів. Нехай А — множина юнаків групи, В — множина відмінників. У цій задачі універсальною є множина студентів групи, а множини А і В є її підмножинами: A Í U, В Í U.

Порожньою називається така множина, яка не містить ніяких елементів. Така множина позначається спеціальним символом Æ.

Роль порожньої множини Æ аналогічна ролі числа нуль. Це поняття можна використовувати для визначення насправді неіснуючої сукупності елементів (наприклад, множини зелених слонів). Більш істотним мотивом введення порожньої множини є те, що заздалегідь не завжди відомо (або невідомо зовсім), чи існують елементи, які задовольнять характеристичну властивість кожної множини. Наприклад, множина виграшів у наступному тиражі спортлото на куплені квитки може виявитися порожньою. Порожня множина Æ є підмножиною будь-якої множини А, Æ Í А. Слід пам'ятати, що порожня множина є множиною, тому якщо деяка множина А не містить жодного елемента, то А = Æ; | А | = 0. Запис А = {Æ} означає, що А містить один елемент — Æ, |А| = 1.

Таким чином, будь-яка непорожня множина А обов'язково має, як мінімум, дві підмножини — порожню множину і саму цю множину.

Множину всіх підмножин множини X назвемо множиною-степенем, або булеаном множини X, і позначимо 2 ^х.

Приклад. Нехай задана множина А = { а, b, с }. Система всіх її підмножин є

2 ^А = {Æ, { а }, { b }, { с }, { а, b), { b, с), { а, с), { а, b, с }},

так що 2 ^а містить 8 елементів.

Порожня множина має тільки одну підмножину — саму порожню множину, тому 2^Æ = {Æ}. Для довільної множини X з п елементів кількість всіх її підмножин (тобто |2 ^Х |) дорівнює 2 ⁿ:

|2^X| = 2^|X| = 2 ⁿ.

1. Які множини вважаються рівними?

2. Чи можуть два елементи однієї множини бути однаковими?

3. Визначте поняття підмножини і включення множин.

4. Наведіть приклади множин А і В для випадків А Ì В і А Í В.

5. Чим відрізняється строге включення від нестрогого? Наведіть приклад.

6. Як визначається рівність множин через поняття нестрогого включення?

7. Яка множина називається універсальною?

8. Яка множина називається порожньою?

9. Запишіть відношення включення між універсальною множиною U, довільною її підмножиною А і множиною Æ.

10.Як позначається множина всіх підмножин деякої множини? Скільки елементів вона містить?

Дата добавления: 2014-01-04