Використання методу фазової площини для нелінійних систем

Характерним для нелінійних систем є наявність граничного циклу, тобто замкненої фазової траєкторії.

Рис.7

Фазовий портрет нелінійної системи може мати різні види фазових траєкторій і декілька особливих точок.

У таблиці наведено фазові портрети, властиві для лінійних систем, які описуються диференційним рівнянням другого порядку , та розв’язки цього рівняння для різних видів коренів характеристичного рівняння р² + а₁р + а₂ = 0.

Такі фазові портрети мають і нелінійні системи із несуттєвими нелінійностями. Суттєві нелінійності зумовлюють те, що фазові портрети можуть стати якісно іншими. Приклади фазових портретів, властивих тільки нелінійним системам, подано на рис.7.

Фазовий портрет на рис.7,а характеризує динаміку системи, нестійкої у малому (особлива точка – нестійкий фокус). Усталеним режимом цієї системи є автоколивання. Прикладом такої системи може бути система, лінійний аналог якої при малих відхиленнях нестійкий. У системі спостерігається розбіжний коливальний процес, проте, внаслідок насичення окремих елементів системи, амплітуда коливань не зростає нескінченно, а встановлюється на деякому незмінному рівні, тобто в системі виникає режим автоколивань. Ця траєкторія називається стійким граничним циклом. Стійкий граничний цикл становить найважливіший для ТАК тип особливих ліній на фазовій площині. Фазові траєкторії, що починаються всередині і зовні стійкого граничного циклу, з часом асимптотично наближаються до нього.

Якщо фазові траєкторії, близькі до граничного циклу, з часом віддаляються від нього, то граничний цикл буде нестійким. Приклад фазового портрета з нестійким граничним циклом наведено на рис.7б. Він відповідає системі, що стійка у малому і нестійка у великому. Нестійкий граничний цикл визначає межу початкових умов, до якої система зберігає стійкість. Він також становить особливу лінію на фазовій площині.

Нестійкий граничний цикл може розділяти якісно різні перехідні процеси, наприклад, затухаючий коливальний і розбіжний аперіодичний. Відповідний фазовий портрет зображено на рис.8,в.

Особлива лінія

Сідло С1, С2

Як лінійна на межі стійкості

Центр

Сепаратриса

Нестійкий граничний цикл залежить від

Стійкий граничний цикл

Нестійкий у великому.   Стійкий фокус

Межа стійкості

Стійка у малому (нестійкий граничний цикл) стійкий фокус

Нестійкий фокус (насичення) стійкий граничний цикл

Рис.8

Система може мати кілька граничних циклів, що відповідають одній і тій же самій особливій точці. У цьому разі стійкі та нестійкі цикли чергуються (рис.8,г).

Фазовий портрет на рис.8, д відповідає випадку, коли при малих відхиленнях нелінійна система поводиться як лінійна, що перебуває на межі стійкості (характеристичне рівняння має уявні корені). При великих відхиленнях стійкість системи порушується і перехідний процес, а також фазові траєкторії, що йому відповідають, стають зовсім іншими. Крім особливої точки О типу центра з’являється, два сідла – С₁ та С₂. Лінія, що проходить через особливі точки типу сідла й розділяє фазову площину на зони, які відповідають якісно різним перехідним процесам, називається сепаратрисою. Сепаратриси становлять третій тип особливих ліній.

У системах із зоною нечутливості або з сухим тертям з’являється зона застою, а на фазовій площині замість особливої точки – особлива лінія. Фазовий портрет, що відповідає неасимптотично стійкій системі, зображено на рис.8,е.

Отже, динамічні процеси у нелінійних системах суттєво відрізняються від процесів у лінійних: значно ширше трактується поняття про стійкість, у тій самій системі залежно від початкових відхилень можуть спостерігатися якісно різні перехідні процеси тощо. У цілому за своїми властивостями нелінійні системи значно багатші за лінійні.

Дата добавления: 2014-01-04