Теорема. Якщо функції та є розв’язками рівняння (5), то загальним розв’язком цього рівняння є функція , де

Якщо функції та є розв’язками рівняння (5), то загальним розв’язком цього рівняння є функція , де – довільні сталі.

Приклад 1. Розв’язати рівняння .

Розглянемо неоднорідне лінійне рівняння другого порядку

, (6)

де – задані і неперервні на функції.

Теорема (про структуру загального розв’язку неоднорідного рівняння)

Загальним розв’язком рівняння (6) є сума його довільного частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння .

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку розв’язуються методом варіації сталих , де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами

, (7)

де – дійсні числа.

Схема знаходження загального розв’язку рівняння (7):

1. Складаємо характеристичне рівняння для рівняння (7)

(8)

Нехай – корені характеристичного рівняння (8).

2. Можливі три випадки:

a) Корені характеристичного рівняння дійсні і різні , тоді

– загальний розв’язок рівняння (7);

b) Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні , тоді

– загальний розв’язок рівняння (7);

c) Корені характеристичного рівняння комплексно спряжені , тоді – загальний розв’язок рівняння (7).

Приклад 1.

Приклад 2.

Приклад 3.

Дата добавления: 2014-01-04