Лекція №9. Неперервність функції

1. Неперервність функції в точці. Точки розриву

2. Дії над неперервними функціями. Неперервність елементарних функцій

3. Властивості функцій, неперервних на відрізку

1. Неперервність функції в точці. Точки розриву

Нехай визначена в точці і в деякому околі цієї точки.

Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто .

Часто зустрічається поняття односторонньої неперервності.

Функція називається неперервною в точці зліва, якщо вона визначена на півінтервалі , де і .

Функція називається неперервною в точці справа, якщо вона визначена на півінтервалі , де і .

Функціяназивається неперервною в точці , якщо лівостороння границя дорівнює правосторонній границі і дорівнює значенню функції в точці, тобто (1).

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то функція називається розривною в точці , а сама точка називається точкою розриву функції.

Якщо для функції існують скінченні границі

,

причому не всі числа рівні між собою, то розрив в точці називається розривом першого роду, а точка – точкою розриву першого роду.

Якщо , то розрив у точці називається усувним, а точка – точкою усувного розриву.

У цьому випадку досить довизначити функцію лише в одній точці , поклавши , щоб дістати функцію, неперервну в точці . Величину називають стрибком функції.

Якщо хоча б одна з односторонніх границь у формулі (1) не існує або дорівнює нескінченності, то розрив в точці називається розривом другого роду, а точка – точкою розриву другого роду.

2. Дії над неперервними функціями. Неперервність елементарних функцій

Дата добавления: 2014-01-04