Лекция №20

Давление в жидкостях и газах. Распределение давления в жидкостях и газах, находящихся в состоянии равновесия. Закон Паскаля. Сила Архимеда. Условие плавания тел. Стационарное слоистое движение жидкости. Уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости и его применение. Формула Торичелли. Реакция вытекающей струи.

Лекция № 19

Жидкости и газы рассматривают в механике как сплошные сре­ды, непрерывно заполняющие часть пространства. Так же как и твердые тела, жидкости и газы принимают за систему материальных точек, каждая из которых является элементарным объемом.

Представление жидкости или газа в виде системы неизменно свя­занных между собой элементов допустимо, если жидкость покоится или движется как целое. В этом случае мы можем часть объема жидкости (или весь объем) рассматривать как твердое тело и приме­нять к нему законы механики твердого тела. Этот прием носит на­звание принципа отвердения.

Выделим внутри жидкости произвольный элемент и рассмотрим действующие на него силы. Их можно разделить на внутренние (действующие между частицами элемента) и внешние (действующие со стороны соседних элементов). Внутренние силы взаимно уравно­вешиваются, потому мы вправе их действия не учитывать.

Внешние силы, как и в случае твердого тела, разделим на мас­совые (действующие на каждую материальную частицу элемента) и поверхностные (приложенные к поверхности элемента). Вообще говоря, было бы важно знать и внутренние силы, чтобы характери­зовать напряженное состояние внутри выделенного элемента жид­кости. Однако в гидромеханике ограничиваются указанием некото­рого среднего напряженного состояния для объема в целом. В самом деле, если в выбранном элементе находится большое число молекул, движущихся хаотически, то установить детальную картину распре­деления взаимодействия между ними практически невозможно.

На первый взгляд определение среднего напряженного состояния внутри выделенного элемента тоже невозможно, так как внутрен­ние силы при суммировании уравнений, составленных для отдель­ных элементов, взаимно уничтожаются. Однако это затруднение можно обойти, если с помощью какого-либо приема внутренние силы сделать внешними.

Как и для сплошного твердого тела, результирующую внутрен­них сил, отнесенную к единице площади сечения, называют напря­жением.

В покоящейся жидкости напряжения могут быть направлены только нормально к поверхности элемента. Это свойство обуслов­лено легкоподвижностью частиц жидкости. Если возникнет хотя бы малая составляющая внутренних сил в направлении, касатель­ном к поверхности элемента, частицы жидкости придут в дви­жение.

Возникновение внутренних напряжений в жидкости легко уста­новить на опыте. Поместим жидкость в замкнутый сосуд с поршнем (рис.1).

рис № 1 Возникновение внутренних напряжений в жидкости.

Положим, на поршень действует сила F. Если при этом некоторый слой жидкости, непосредственно прилегающий к поршню, находится в равновесии, то, следовательно, на него со стороны со­седних слоев жидкости действует сила, результирующая которой уравновешивает силу, действующую со стороны поршня.

В большинстве случаев силы, действующие на поверхность эле­мента жидкости, сжимают его, т. е. направлены внутрь элемента. Силы, направленные по нормали к поверхности объема внутрь его, называются силами давления.

Давление имеет размерность силы, деленной на площадь. За единицу давления принимают в СИ Н/

Давление на малой площадке, определяющей точку в покоящей­ся жидкости, одинаково при любой ориентации площадки.

Выделим внутри жидкости произвольную трехгранную призму (рис.2)

рис. № 2.Давление в плоскости жидкости не зависит от ориентации площадки.

Силы давления, действующие на противоположные осно­вания призмы, равны по величине и противоположны по направ­лению.

Силы давления F_t, F₂, F₃ на боковые грани призмы перпендику­лярны к ним.

Построим на этих силах силовой треугольник abc (рис №2). Его стороны перпендикулярны сторонам треугольника ABC, полученного сечением призмы плоскостью, параллельной основанию и проходящей через векторы . Следовательно, треугольники ABC и abc подобны:

. (1)

Напряжение на гранях призмы получим, если разделим силы на площади соответствующих граней. Но площади граней равны AC*h, AB*h, BC*h, где h— высота призмы. Следовательно,

(2)

или

Таким образом, давление в покоящейся жидкости (статическое давление) одно и то же на всех трех гранях. Так как призма была выбрана произвольно, то условие (2) будет выполняться для лю­бой призмы (любой величины и любым образом ориентированной).

Уменьшая размеры призмы, мы придем к малым площадкам, различно ориентированным около некоторой точки. Как следствие этого положения может быть получен закон Паскаля: давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передается во все стороны.

Закон Паскаля используется в так называемых гидравлических прессах. Схема такого пресса изображена на рис. 3.

рис.№ 3 Схема гидравлическрго пресса

.Он со­стоит из двух сообщающихся между собой цилиндрических полостей С и Е, закрытых поршнями К и D, которые могут перемещаться вверх и вниз. Когда на поршень D действует сила , приложенная к рычагу H, то создаваемое ею давление передается жидкостью из цилиндра Е через вентиль В в цилиндр С. Сила действующая на поршень D, относится к силе F₂, действующей со стороны жидкости на поршень К, как площадь сечения поршня D к площади сечения поршня К. При большой разнице размеров поршней (площади их сечений) можно получить большой выигрыш в силе, который и ис­пользуется в гидравлическом прессе. Гидравлические прессы широ­ко применяются в технике (при штамповке изделий, при подъеме тяжестей, например гидравлические подъемники автомобилей.

Выделим в однородной покоящейся жидкости элемент (рис. 4) в виде пря­моугольного параллелепипеда с пло­щадью основания S и гранями, парал­лельными направлению силы тяжести и имеющими высоту z

. Рис.№4 К выводу распределения гидростатического давления.

Так как жидкость, а вместе с ней и выделенный элемент по­коятся, то, следовательно, давления на его боковые грани уравновешиваются. Для того чтобы найти условие равнове­сия параллелепипеда в вертикальном направлении, надо учесть давления и , действующие на нижнее и верхнее основания, и силу тяжести, действующую на параллелепипед. К верхнему основа­нию приложена сила , направленная вниз. Сила тяжести, дей­ствующая на весь параллелепипед, равна , где — плотность жидкости, g —ускорение силы тяжести. На нижнее основание действует сила, направленная вверх. Применив принцип от­вердения для равновесия выделенного элемента жидкости в верти­кальном направлении, напишем условие, аналогичное условию рав­новесия твердого тела:

(3)

или

(12.4)(

(4)

Уменьшая параллелепипед и полагая высоту и площадь его ос­нования в пределе бесконечно малыми, получим из формулы (4):

(5)

(для равновесия элементарного параллелепипеда dp должно быть направлено противоположно силе тяжести, что и показывает знак «минус»).

Чтобы найти закон распределения давления в жидкости по вы­соте конечной величины, проинтегрируем правую и левую части это­го уравнения:

(6)

где р₀ — давление на высоте z₀ над условной горизонтальной плос­костью, р — давление в данной точке, находящейся на высоте z. Получим:

, (7)

где давление на нижнее основание призмы, создаваемое весом столба жидкости высотой h. Введя объёмный вес , перепишем уравнение (7) в виде:

. (8)

Это уравнение называется гидростатическим уравнением.

Давление жидкости на дно не зависит от формы сосуда, а только от высоты ее поверхности над дном (рис. 5). Давление на элемент боковой стенки сосуда зависит от его глубины под поверхностью жидкости (рис.6).

рис.№5 Гидростатический парадокс:

давление жидкости на дно зависит не

от формы сосуда, а только о высоты её

поверхности над дном.

рис.№6 Давление на элемент боковой поверхности сосуда.

Свободная поверхность однородной жидкости в сообщающихся сосудах устанавливается на одной высоте (рис. 7). В случае неод­нородных жидкостей высоты их свободных поверхностей в сообщаю­щихся сосудах над нулевой плоскостью обратно пропорциональны плотностям жидкостей (рис. 8).

рис.№7 Сообщающиеся сосуды.

Рис. № 8Вода и ртуть в сообщающихся сосудах.

Архимед установил, что кажущийся вес тела, погружённого в жидкость, меньше действительного на столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.

Выделим мысленно объём жидкости такой же поверхности, как и поверхность данного твёрдого тела. Вообразим, что выделенная нами жидкость затвердела, сохраняя неизменной свою плотность. Равновесие в жидкости при этом, очевидно, не нарушиться. Следовательно, вес отвердевшей части жидкости равен силе давления, с которой на него действует окружающая жидкость. Другими словами, результирующая давлений покоящейся жидкости на произвольную замкнутую поверхность равна по величине и противоположна по направлению весу жидкости, заключённой внутри этой поверхности.

Следовательно, если мы поместим в жидкость твёрдое тело, которое займёт тот же объём, что и отвердевшая часть жидкости, то на него будет действовать выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости,

Закон Архимеда используется при оценке плавучести и остойчивости кораблей.

Условием плавания тел в жидкости, очевидно, является равенство его веса весу вытесненной им жидкости.

Представим себе в жид­кости трубку, боковая по­верхность которой состав­лена из прилегающих друг к другу линий тока (рис. 9).

рис. № 9. Трубка тока.

Если течение стацио­нарно, то все частицы жид­кости, заключенные внутри этой поверхности, останутся внутри нее во все время движения. Таким образом, поверхность, образованная линиями тока в жидкости, представляет собой как бы непроницаемую трубку. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, пронизывающими замкнутый контур, называется трубкой тока. Размеры и положения кон­тура выбираются такими, чтобы в его пределах скорость течения можно было считать постоянной и направленной по нормали к кон­туру.

Очевидно, всякое движение жидкости, происходящее без разры­вов сплошности (без пузырьков и «пустот»), должно удовлетворять закону сохранения массы. Масса жидкости, прошедшей за время через какое-либо поперечное сечение трубки тока S, равна:

где — скорость частиц, постоянная в данном сечении, — плот­ность жидкости в том же сечении.

При стационарном потоке за один и тот же интервал времени через два разных сечения трубки тока и S₂ должны проходить одинаковые массы жидкости. В противном случае масса жидкости, заключенной в объеме трубки между выбранными сечениями, изме­нялась бы, и течение перестало быть стационарным. Поэтому для стационарного течения

(9)

Для капельных жидкостей и для газов, когда сжимаемость последних роли не играет, можно считать плотность постоянной. Тогда уравнение (9) запишется в виде

,

или

(10)

Произведение величины скорости течения несжимае­мой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока

(теорема неразрывности).

Рассмотрим участок трубки тока, ограниченный двумя попереч­ными сечениями А В и CD, площади которых соответственно равны S_t и S₂ (рис. 10). Площади сечений возьмем достаточно малыми, чтобы скорости частиц и давления в пределах каждого из сечений можно было считать постоянными.

Рис.№10. К выводу теоремы Бернулли.

Перемещаясь от сечения АВ к сечению CD, жидкость переходит в суженную часть трубки и, как следует из уравнения неразрывно­сти, движется ускоренно. Значит, на жидкость, находящуюся в дан­ный момент в суженной части трубки, действует со стороны жидко­сти, находящейся в более широкой ее части, некоторая сила, которая может возникнуть только вследствие разности давлений в раз­личных сечениях трубки. Сила направлена в сторону узкой час­ти трубки, следовательно, в ме­стах сужений давление меньше, чем в местах расширений.

Установим связь между дав­лением и скоростью жидкости в разных сечениях трубки, ограни­чиваясь рассмотрением идеальной жидкости (не учитывая вяз­кость и сжимаемость жидкости), что позволит нам считать работу внутренних сил в жидкости равной нулю. Трение между жидкостью и стенками сосуда будем считать отсутствующим (это позволит нам выбрать трубку в произвольном месте потока); движение — вполне установившимся (стационарным, при этом масса и энергия идеальной жидкости, заполняющей неко­торый объем трубки тока, остаются постоянными во все время дви­жения); линии тока — слабо искривленными (что позволит пре­небречь центростремительным ускорением частиц жидкости и связанным с ним изменением давления в поперечном сечении труб­ки тока).

К жидкости, заключенной в рассматриваемом объеме, можно применить второй закон динамики и написать для нее уравнение движения. Но так как в идеальной жидкости нет рассеяния механи­ческой энергии, то результат проще получить, применяя закон со­хранения энергии.

Покоящаяся жид­кость массой т обладает потенциальной энергией:

(11)

Если жидкость движется со скоростью о, то она обладает еще кинетической энергией, и полное значение энергии будет:

(12)

В выражении (12) давление р отлично от давления р_с, входящего в формулу (11), так как жидкость могла приобрести кинетическую энергию только за счет преобразования потенциальной энергии. При соблюдении первых трех из перечисленных выше ограниче­ний энергия жидкости, заключенной в выделенном объеме, остается неизменной. Следовательно, энергия жидкости массой , втекающей в объем за время через сечение , должна быть равна энергии жидкости массой , вытекающей за то же время че­рез сечение . Если плотность жидкости , то

Приравнивая правые части этих равенств и деля их на

(13)

получим:

(14)

или, учитывая, что

(15)

Так как сечения S₁ и S₂ взяты про­извольно, то вообще для любого сече­ния данной трубки тока

(16)

Это уравнение, полученное Д. Бернулли (1738 г.), связывает изменение давления в стационарном потоке идеальной жидкости с изменением скорости течения и геометрической высоты.

рис. № 11. Уравнение Бернулли можно применять к сечениям 1,2,3,4,5,6.

Закон Бер­нулли представляет собой закон постоянства полной удельной энер­гии частиц движущейся идеальной жидкости при стационарном те­чении. Формулы (16) и (15) выражают тот же закон сохранения энергии для единицы объема жидкости: —кинетическая энергия единицы объема жидкости, — его потенциальная энергия в поле силы тяжести, p — работа силы давления при подъеме единицы объ­ема на единицу высоты.

В выражении (14) все члены имеют размерность длины: и— геометрические высоты, и— пьезометрические высоты и — скоростной, или динамический, напор.

Таким образом, в теореме Бернулли отражены два физических факта: 1) сумма потенциальной энергии и кинетической энергии на всем протяжении данной трубки тока — ве­личина постоянная; 2) сумма трех высот: пьезомет­рической, геометрической и скоростной — остается по­стоянной в каждом сечении трубки.

Рассмотрим несколько практически важных применений теоремы Бернулли.

а) Скорость истечения из отверстия. Рассмотрим задачу, решен­ную еще Д. Бернулли, об истечении жидкости из открытого сосуда через малое отверстие под действием силы тяжести. Пусть имеется широкий сосуд с жидкостью (рис. 171), уровень которой стоит на высоте z₁ над дном сосуда. На высоте имеется малое (по сравнению с сечением сосуда) отверстие с плавно закругленными краями. На свободную поверхность жидкости в сосуде действует атмосферное давление р₁ такое же давление действует и на поверхность вытекаю­щей струи (сосуд невысок). Так как площадь сечения сосуда велика по сравнению с площадью сечения отверстия, то скорость движения частиц свободной поверхности мала по сравнению со скоростью частиц в отверстии и ею можно пренебречь.

Линии тока в отверстии можно считать параллельными и направ­ленными перпендикулярно плоскости его сечения. Все линии тока начинаются на поверхности жидкости, которая медленно снижается по мере вытекания жидкости из сосуда. Тогда для каждого момента времени мы можем написать уравнение Бернулли:

,

где величины с индексом 1 относятся к сечению, совпадающему со свободной поверхностью жидкости в сосуде, а с индексом 2 — к сече­нию струи в отверстии. Но по условию

и .

Тогда

,

откуда

,

т. е. скорость частиц в отверстии такова, как если бы частицы под действием собственного веса падали с высоты h. Формула эта носит название формулы Торричелли.

рис.№12. Сжатие струи:

а)отверстие без насадки, б)цилиндрическая насадка. в)насадка по форме струи

Решая задачу с помощью теоремы Бернулли, мы пренебрегали вязкостью жидкости и считали линии тока перпендикулярными плоскости сечения отверстия. На самом же деле частицы подходят к отверстию по криволинейным траекториям и не могут в отверстии внезапно изменить направление движения, вследствие чего струя оказывается несколько сжатой и площадь ее сечения меньше пло­щади отверстия (рис. 12).

Для проверки формулы Торричелли проще всего измерить объем жидкости, вытекающей из отверстия за время , и, разделив его на время, получить величину расхода жидкости Q, которая должна удовлетворять равенству:

где S — площадь сечения отверстия.

При сравнении фактического и вычисленного расхода жидкости первый оказывается меньше второго. Коэффициент пропорциональ­ности между ними называют в гидравлике коэффициентом истече­ния или коэффициентом расхода:

Коэффициент различен для разных жидкостей (зависит от их вязкости) и отверстий разной формы (зависит от степени сжатия струи).

б) Некоторые приборы для измерения давлений и скоростей в жидкости

(трубки Пито-Прандтля, трубка Орлова).

в) Использование в технике зависимости давления в жидкости от величины её скорости.

Дата добавления: 2014-01-04