Распространение колебаний в однородной ciiлошной среде бегущие волны

Лекция №24

В природе и технике мы встречаем огромное разнообразие волн: волны и зыбь океанов, волны землетрясений, сейсмические волны, волны звука, волны в натянутой струне или в кристалле кварца, который используется для излучения или приема ультразвука, электромагнитные волны — свет, радио и даже волны вероятности (!), которые рассматривает квантовая механика при изучении поведе­ния электронов, атомов и т. п.

При всех различиях в происхождении и проявлении волн они обладают целым рядом общих свойств. Эти свойства могут быть выяв­лены и математически описаны в общем виде, одинаковом для раз­личных физических систем. Установив, что явление определяется волнами, мы можем предсказать многие особенности явления не­зависимо от механизма возбуждения и передачи волн.

Наша задача — выяснить некоторые общие свойства волн на примере волн механических. Как можно возбудить механические волны?

Система, помещенная в какую-либо среду (например, в воздух пли в воду), колеблясь, взаимодействует с частицами, находящимися в прилегающем слое среды. Она создает непрерывный ряд импульсов деформаций, следующих один за другим и распространяющихся в среде. Если скорость распространения каждого отдельного импуль­са не зависит от их амплитуд и формы (пока импульсы достаточно малы), то они распространяются, следуя в порядке их возбуждения колеблющейся системой, сохраняя свою первоначальную форму.

Положим, система колеблется по гармоническому закону, тогда вынуждающая сила, с которой она действует на прилегающие час­тицы среды, заставляя их колебаться, также меняется по гармони­ческому закону. Частицы среды колеблются с частотой вынуждаю­щей силы, т. е. с частотой колебания системы.

Будем считать границу среды настолько удаленной от источника колебаний, что возмущения не успевают за время наблюдения от­разиться от нее, и затухание колебаний настолько малым, что им можно пренебречь.

Частицы среды, прилегающие к колеблющейся системе, прихо­дят в колебание одновременно с возникновением колебаний системы. Очевидно, частица, отстоящая от системы на расстоянии x в на­правлении распространения колебаний, начнет колебаться, когда до нее дойдет начало распространяющегося в среде возмущения. Пусть скорость распространения возмущения в среде с.

Если колебания системы происходят по закону:

, (1)

То точка среды, отстоящая от нее на расстоянии х, колеблется по тому же закону, но в момент t она имеет смещение, которое имела частица, прилегающая к возмущающей системе, в момент

.

Таким образом, частицы среды смещаются по закону:

(2)

Это уравнение носит название уравнения бегущей волны. Оно оп­ределяет величину смещения частицы от положения равновесия как функцию времени t и ее расстояния х от источника возмущения.

Введем вместо частоты период ():

(3)

Если зафиксировать определенное значение времени t, то уравне­ния (1) и (2) дадут нам распределение смещений частиц вдоль направления распространения волн в зависимости от расстоя­ния х. Смещения точек, отстоящих друг от друга на расстоянии х=сТ, в один и тот же момент времени t₁ будут, как следует из равенства (3), одинаковы. Следовательно, распространение ко­лебаний в среде — периодический в пространстве процесс. Если в уравнении (1) зафиксируем значение x=x₁, т. е. выделим в среде определенную частицу, отстоящую на x₁ от источ­ника колебаний, то закон ее колебания:

(4)

где

Дата добавления: 2014-01-04