Лекция 8. Решение задачи оптимизации

Пример

Пусть

В данном примере

Множество

Решение задачи оптимизации

При этом

В случае доброжелательности игрока 2 этот исход и есть решение задачи при использовании игроком 1 стратегии

Без условия доброжелательности «подправим» оптимальную стратегию

При этом выигрыш игроков равен

Теоретико-игровой анализ двухуровневой иерархической системы управления (ИСУ)

Итак, мы провели анализ элементарной ячейки иерархической системы управления (ИСУ). Сначала был рассмотрен вариант взаимодействия элементов, находящихся на одном уровне иерархии, затем – на разных уровнях.

В достаточно общей постановке анализ двухуровневой статической модели ИСУ сводится к решению игры n+1 лица, определяемой следующими параметрами:

1. Задано множество игроков.

Подмножества определяют верхний и нижний уровни иерархии. Центр (Игрок) обладаем правом первого хода, т.е. первым выбирает и сообщает свою стратегию элементу нижнего уровня.

2. Вектора определяют управляющие параметры.
набор управлений всех элементов нижнего уровня,.

3. На множестве заданы целевые функции:

Интересы описываются стремлением к максимизации этих функций.

4. Взаимная информированность соответствует порядку ходов и определяет их стратегии.

5. Для, определены правила поведения (принципы оптимальности), которые позволяют центру оценить множество возможных ответов элементов нижнего уровня:.

Сформулированная игра многих лиц является обобщением игр двух лиц, рассмотренных ранее. Исследование значительно упрощается, если модель ИСУ имеет веерную структуру.

ИСУ называется веерной, если. Функции выигрыша элементов нижнего уровня таких ИСУ зависят от управления центра и своего управления и не зависят от управлений своих соседей.

Задача рассматривается в интересах центра. Рассмотрим данный тип игр на примере игр, аналогичных.

1. Аналог игры

Правило 1.1. В этом случае, т.е. центр не имеет информации о действиях подчиненного до своего выбора.

Правило 1.2. Для любого выбирает

Правило 1.3. выбирает из условия МГР.

Правила 1.1-1.3 получены путем конкретизации параметров 1⁰-5⁰ игры общего вида.

Теорема 1. Решение сформулированной игры (типа) эквивалентно для центра решению игры для двух лиц, где один игрок, а второй игрок – игрок с функцией

выигрыша

Доказательство. Определим множество

.

Тогда МГР игрока в игре (,) равен:

С другой стороны для исходной игры с n подчиненными имеем

Утверждение Теоремы 1 (равенство следует из соотношения

справедливого в силу очевидного равенства

Теорема доказана.

2. Аналог игры

Правило 2.1. В этом случае

т.е. центр имеет информацию о выборе подчиненных и использует в качестве стратегии функции.

Здесь, т.е. управление центра разбивается на n управлений, а функция выигрыша имеет вид.

Правило 2.2. Игрок ходит первым, т.е. выбирает и сообщает каждому стратегию.

Правило 2.3. Игроки выбирают в силу своего правила поведения

Правило 2.4. Оптимальную стратегию выбирает из ОПМГР.

Определим некоторые вспомогательные конструкции.

Введем параметры

Аналогично играм двух лиц определим взаимовыгодные множества исходов:

Обозначим через - стратегии наказания:

Определим исход:

Теорема 2. Пусть элементы нижнего уровня доброжелательны к центру, тогда МГР равен, и достигается на стратегии:

Доказательство. (Аналогично доказательству теоремы для игры в случае игры двух лиц).

1. Докажем, что результат гарантирован.

Пусть использует стратегию. Если, то рациональный ответ – выбрать, так как в противном случае игрок будет наказан и не получит больше. Если, то в силу доброжелательности игрок опять же выберет.

2. Покажем, что больше центр получить не сможет.

По определению

поэтому больше центр сможет получить только вне D. Но вне D хотя бы один подчиненный получит меньше, что он не допустит. Следовательно, центр получить больше не сможет.

Определение: ИСУ идеально согласованна, если

В идеально согласованной ИСУ центр на оптимальной стратегии получает глобальный максимум.

Дата добавления: 2014-01-04