Собственные функции и собственные значения

По своей природе квант.теория явл.вероятностной теорией. И одной из основных задач этой теории явл. вычисление средних значений различных физических величин. Согласно постулату №4 ср.значение любой физ.величины м.б.вычисленно по след. формуле: <E>=(∫dvψ*Êψ)/(∫dvψ*ψ) (1), где Ê-оператор, соотв.физич.величине Е. Несмотря на то, что квантовая теория явл. вероятностной, тем не менее микросистемы могут находиться в таких состояниях в кот.некот.физич. величины имеют определенные значения. Можно показать, что если волновая функция микросистемы явл.решением уравнения: Êψ=Eψ (2), то для этой системы физическая величина Е имеет определенное значение. Функции, явл. решением уравнения (2) называются собств. функциями оператора Е. А значения Е, при которых также решения сущ.назыв.собственными значениями физ.величины Е. Если микросистема находится кот., описывается волновой функцией, удовлетвор.ур-ию (2), то наабор собств. значений для оператора Е определяет значения величины Е, которые могут быть найдены из эксперимента при измерении данной физ.величины. Наборы собств.значений физ.величины Е могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Пусть частица массой m находится в состоянии, кот. описыается волновой функцией, удовлетвор.след.уравнению: Ĥψ=Нψ (3). Тогда, как следует из выше изложенного, состояние частицы будет характеризоваться определенным значением энергии, которую можно непосредственно измерить на эксперименте. Найдем с помощью уравнения (2) собственную функцию состояния, в которой проекция импульса на ось х имеет определенное значение, равное P_x, будем считать, что система одномерна, для решения поставленной задачи восп. уравнением(2) в котором вместо оператора Ê пост. оператор Р_х, в результате получим след.уравнение: _xψ=P_xψ (4); -iℏ(dψ/dx)= P_xψ (5). С математической точки зрения (5) представл.собой дифф.уравнение I порядка с разделяющимися переменными, решая которое, получаем: ψ=c₁*e^i(Px/ℏ), где с₁-постоянная интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-04