Здесь токи и напряжения в любой точке линии будут синусоидальны, причем фазы тока и напряжения в общем случае различны

Переходя от мгновенных значений синусоид к их комплексным изображениям, можно записать, что

, , , . (8.4)

Полученные комплексы не зависят от времени. Следовательно, заменив синусоидальные функции соответствующими комплексными изображениями,

получим дифференциальные уравнения для величин, зависящих только от одной переменной – расстояния , и расчет можно вести без частных производных.

Уравнения (8.1) в символической форме примут вид

,

. (8.5)

Обозначим ;

, (8.6)

где - продольное сопротивление линии на единицу ее длины;

- поперечная проводимость линии на единицу длины.

Так как и относятся к разным элементам линии, то .

Подставив (8.6) в (8.5), получим

, (8.7) . (8.8)

Продифференцируем (8.7) и (8.8) по еще раз и подстановкой разделим искомые переменные

, (8.9)

. (8.10)

Решим уравнение (8.9).

.

Общее решение этого уравнения

, (8.11)

где корни характеристического уравнения и и постоянные интегрирования и являются в общем случае комплексными числами.

Характеристическое уравнение в нашем случае будет

. Отсюда , . (8.12)

- коэффициент распространения волны. Он характеризует изменение

напряжения и тока вдоль линии на протяжении 1 км. В алгебраической форме комплекс ,

где - коэффициент затухания волны на 1 км, ;

- коэффициент изменения фазы на 1 км, .

С учетом (8.12) напряжение . (8.13)

Для определения общего выражения тока подставим (8.13) в (8.7)

. (8.14)

Перепишем (8.14) в виде

, (8.15)

где , - (8.16)

волновое или характеристическое сопротивление линии.

,

где ; . (8.17)

Для воздушных линий = 300 – 600 Ом, для кабельных 50 Ом.

Постоянные интегрирования и определяются из граничных условий:

при , . (8.18)

Используем уравнения (8.13) и (8.15)

, , откуда

, . (8.19)

Подставив и в (8.13) и (8.15), определим напряжение и ток

,

. (8.20)

Отсюда мгновенные значения напряжения и тока

,

. (8.21)

Дата добавления: 2014-01-04