Основные положения теории вероятностей

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

При рассмотрении методов обработки и оценки результатов исследований будем использовать инженерные понятия теории вероятностей, науки, изучающей массовые случайные явления.

Будем называть опытом или испытанием всякое осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление. Например, опытом будет акт выбора одного изделия из партии готовой продукции, показание прибора и т.д. Возможный результат опыта называется событием. Это, например, появление бракованного изделия при выборе такового из партии готовой продукции; конкретное показание амперметра при выполнении серии измерений и т.п. События обозначается заглавной буквой латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Соотношения между событиями:

- сумма двух событий – это событие, состоящее в появление хотя бы одного из них (А+В). Это объединение событий. Например, либо промах, либо попадание в мишень при выстреле;

- произведени е – это одновременное появление двух событий (АВ), совмещение этих событий (пересечение). Например, А – выигрыш по одной лотерее, а В – по другой, АВ – выигрыш по обеим лотереям;

- разность событий (А-В) – это событие, которое означает, что наступает событие А и не происходит В. Например, при бросании 2-х игральных кубиков: событие А означает выпадение на двух кубиках очков равных чётному числу, В – чётные очки и там и там, С – нечётные и там и там (А-В=С, А-С=В).

Если событие А – некоторое событие, то наступление события, противоположному ему (Ā) означает, что событие А не наступило.

События А и В являются считаются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Например, появление любого возможного числа очков при бросании игрального кубика (событие А) несовместно с появлением иного (событие В).

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (событием). Например, события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ – элементарные исходы при бросании игрального кубика.

События считают равновозможными, если нет оснований считать, что одно событие является более возможным, чем другие. При бросании кубика события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ – равновозможные, при условии, что он изготовлен из однородного материала, имеет правильную форму куба и наличие цифр на гранях не влияет на то, какая из 6-ти граней куба окажется верхней.

Конечное множество равновозможных элементарных исходов А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу событий.

Событие является достоверным, если оно обязательно должно произойти в ходе данного опыта. Например, если в коробке находятся только красные шары, то, что из неё может быть извлечён шар только красного цвета, является достоверным событием. Достоверное событие обозначается – Е.

Событие является невозможным, если в данном опыте оно произойти не может. Например, из коробки с красными шарами не может быть извлечён синий шар. Невозможное событие обозначается буквой О.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти в данном опыте. Например, из коробки с красными и синими шарами, может быть вынут, а может быть, и не вынут красный шар в конкретном опыте.

Элементарные события, при которых данное событие может наступить, называются благоприятствующими этому событию. Например, при бросании игрального кубика элементарные исходы А₃ и А₆ – благоприятствующие такому событию, как «выпадение числа очков, делящихся на 3».

Количественной мерой возможности осуществления события является вероятность этого события. Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначается через Р(А):

Р(А)=m/n,

где m – число благоприятствующих событию А элементарных исходов; n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться событие А.

Пример: Найти вероятность выпадение числа, делящегося на 3 при бросании игрального кубика.

Для данного события А благоприятствующими будут исходы А₃ и А₆, m=2, всего элементарных исходов n=6. Следовательно, Р(А)=2/6=1/3.

Из определения вероятности следуют её простейшие свойства.

1) Вероятность достоверного события равна единице. Для него все элементарные исходы являются благоприятствующими m=n: Р(Е)=n/n=1.

2) Вероятность невозможного события равна нулю. Для него нет ни одного элементарного благоприятствующего этому событию исхода: m=0. Поэтому Р(О)=0/n=0.

3) Вероятность случайного события выражается положительным числом меньшим единицы. Поскольку 0<m<n и 0<m/n<1, то 0≤P(A)≤1.

Рассмотренное классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможные. На практике такие задачи встречаются редко. Поскольку трудно указать основания, позволяющие считать их таковыми. В естественно-научных и технических вопросах пользуются в основном статистическим определением вероятности.

Допустим, что некоторый опыт при сохранении неизменных условий его проведения выполняется достаточно большое число раз, равное n. При этом отмечается наступление события А определённое количество раз, например, равное m. Отношение m/n называют относительной частотой (частотой или частостью) события: W(A)=m/n.

Пример: В результате 25 выстрелов по мишени получено 20 попаданий. Определить относительную частоту попаданий.

m=20; n=25; W(A)=20/25=0,8.

Практика показывает, что при очень большом числе опытов относительная частота сохраняет почти постоянную величину, причём колебания её становятся меньше при увеличении числа опытов.

Пример: При многократном бросании монеты подсчитывалось появление герба, и находилась относительная частота этого события.

n	m	W(A)=m/n
4040 12000 24000	2048 6019 12012	0,5069 0,5016 0,5005

На этом свойстве относительной частоты события основана формулировка статистической вероятности.

Вероятностью события называют число, около которого колеблется относительная частота появления события (частота) при сохранении неизменных условий опыта.

Дата добавления: 2014-01-04