Тема: Множини та дії між ними

Лекція № 1

У науковому світі існує безліч різноманітних понять, які слугують об’єктами дослідження в тій чи іншій галузі. Науковці розрізняють родові (первісні) – не означувані та похідні – означувані поняття. Очевидно, що більше _________________________ понять, оскільки ______________________________________________________________

Так у біології поняття „атом” є родовим поняттям, а „молекула” є похідним, оскільки останнє визначається через перше.

У планіметрії є 2 основних поняття: точка і пряма. Всі інші означаються. Наприклад, відрізок – це ____________________________ ______________________________________________________________ паралелограм – це чотирикутник у якого протилежні сторони ___________, ромб – це _______________________________________

Д/З №1. Утворіть таблицю родових та похідних понять з 10 різних дисциплін.

В математичному аналізі (як і в усій математиці) більшість понять вводяться за допомогою означень. Проте є і виключення до яких відноситься поняття „множина”. Воно належить до родових понять, які не означуються, а роз’яснюються за допомогою прикладів, синонімів або ж засвоюється на рівні інтуіції.

Отже, множина це не означуване поняття, синонімом якого є такі терміни як сукупність, набір, колекція, система тощо. Так можна говорити про:

1) множину студентів – фізиків 1–го курсу

2) множину осіб з великими очима

3) множину усіх дійсних чисел які задовольняють нерівність 1 ≤ х

4) ______________________________________________________

Множини будемо позначати великими латинськими буквами а їх елементи – малими. Кожна множина, за винятком порожньої складається з елементів.

Можна записувати х ∈ А або А ∋ х, коли елемент х належить множині А; х ∉ А, коли х не є елементом А.

Означення 1. Множина, яка не містить жодного елементу називається порожньою і позначається.

Означення 2. Множина вважається заданою, коли можна встановити з яких елементів вона складається. Найчастіше множину задають за допомогою деякої властивості Р(х) яку задовольняють елементи х. Це можна позначати наступним чином: А={х: Р(х)}.

Означення 3. Якщо деяка множина містить безліч елементів, то вона називається нескінченною, в протилежному випадку таку множину називають скінченною.

Якщо множина скінчена, або для її елементів проглядається чітка закономірність, то можна таку множину задати переліком всіх або кількох елементів у фігурних дужках {…}. Наприклад: 1) А = {-1,0,1} Y={0,-1,1}, B = {2,4,6…2n…}.

2) Запишіть множину всіх дійсних чисел, які задовольняють рівняння

__________________________________________________________

Означення 4. Якщо кожний елемент множини А є одночасно елементом множини В, то говорять, що множина А є підмножиною множини В, і записують А ⊂ В або що те саме В ⊃ А.

Означення 5. Дві множини будемо називати рівні, якщо вони складаються з одних і тих же елементів, і позначатимемо А= В.

Д/З №2. чи справедливі твердження

1) А= В ↔ (х ∈ А, х ∈ В)?________________________________

2) ⌀ ⊂ А, яка б не була множина А?__________________________

3) А⊂А, яка б не була множина А?

Означення 6. Невласними підмножинами деякої множини А будемо називати порожню множину і саму множину А. Решта підмножин – власні.

Прикладом власних та невласних підмножин може бути __________________________________________________________

Очевидно, що рівність множин можна виразити так: А = В ↔ (А⊂В і В ⊂ А). Тоді справедливо

A = {0,2}, В = {х ∈ R: х²-2х= 0} тоді А = В.

З одних множин можна утворювати нові множини, зокрема, за допомогою операцій: об’єднання, перерізу, різниці та доповнення, а саме: нехай А, В довільна множина.

Означення 7. Об’єднанням множин А і В називається така множина С, яка містить в собі всі елементи множин А і В без повторень і не містить жодних інших елементів, позначають С=А⋃В:={х: х ∈ А або х ∈ В }.

Приклад 1. Знайти об’єднання множин А і В, якщо:

А = {х ∈ R: х²-4= 0}, В = {1, 2, 3, 4, 5}

Розв’язання

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Д/З № 3 Знайти об’єднання множин Р і Т, якщо:

А = (х ∈ R: х²-х+4= 0}, В = (х ∈ R: х²-х= 0}

Означення 8. Перерізом множин А та В називається така множина С, яка складається із спільних елементів множин А і В та не містить інших елементів, позначають С=А∩В:={х ∈ А і х ∈ В}.

Приклад 2. Знайти переріз множин А і В, якщо:

А = {х ∈ R: х²-4> 0}, В = {1, 2, 3, 4, 5}

Розв’язання

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Означення 9. Різницею множин А та В називається така множина С, яка складається з тих елементів множини А, які не міститься в множині В, позначають С=А\B:={х: х ∈ А і х ∉ В}.

Означення 10. Під універсальною множиною будемо позначати таку множину U, яка містить у собі всі розглядувані множини. Доповненням до множини А називається така множина , яка складається з усіх елементів U, що не входять до А (:= {х ∈ U: х ∉ А}).

Зазначені співвідношення значно легше усвідомити, якщо використовувати геометричну ілюстрацію, запропоновану відомими математиками Ейлером та Венном, які на їх честь називаються «кругами або діаграмами Ейлера-Венна».

A ⋃ B A ∩ B А/В

Зауваження 1. Круги (діаграми) Ейлера-Венна можна використовувати при доведенні математичних тверджень лише за умови їх спростування.

Наприклад, якщо побудувавши круги ви побачили, що множини відрізняються, то можна спиратись на зображення як на доведення. Але для доведення рівності, потрібно використовувати інші математичні прийоми.

Наприклад, якщо А={1, 3, 5}, B={3, 5, 6, 7}, тоді A ⋃ B = {1, 3, 5, 6, 7} A ∩ B = {3, 5} A/B = {1} B/A = {7}.

Оскільки зазначені операції ∩, ⋃, \ над множинами схожі на операції +, ×, - над числами.

Дата добавления: 2014-01-04