Оценка случайных величин

Для оценки погрешности измерения необходимо знать закономерности появления случайных погрешностей. Как правило, значения случайных погрешностей распределяются по нормальному закону и:

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) вероятность (частота) появления погрешностей, равных по величине и обратных по знаку, одинакова;

3) среднее арифметическое случайных погрешностей стремится к нулю при увеличении числа измерений.

Этому закону подчиняются случайные величины, появление которых зависит от большого количества причин, ни одна из которых не имеет решающего значения и играет малую роль в их возникновении.

Случайные погрешности оценивают средним арифметическим полученных результатов измерений , средним квадратичным отклонением s, характеризующим разброс (рассеивание) результатов измерений и предельной погрешностью D _lim.

Среднее арифметическое полученных результатов – сумма действительных размеров деталей х₁, х₂, ….х_n деленная на их число n:

(1.15)

Около происходит группирование всех результатов измерений, поэтому оно определяет положение центра группирования размеров. Так как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то вместо него пользуются средним арифметическим .

При бесконечно большом числе измерений одной величины, равно истинному значению величины. Практически отклонение среднего арифметического от истинного значения величины зависит от числа повторных измерений и от среднего квадратичного отклонения s. Среднее квадратичное отклонение случайных погрешностей относительно центра группирования размеров определяется:

(1.16)

где х_i – результат единичного измерения; (х_i - ) – случайное отклонение результатов измерения от ; n – число измерений.

Среднее квадратичное отклонение определяет характер случайного распределения погрешностей. На рис.16 показаны зависимости плотности вероятности Р случайных ошибок от величины случайных ошибок при различных значениях s.

Рис.16.

Погрешность D_пр = ± 3s называют предельной погрешностью ряда измерений.

Погрешность определения среднего арифметического ряда измерений рассчитывают по формуле:

(1.17)

Значение найденное путем многократных измерений величины, равно х_изм = ± D(). Погрешность определения среднего арифметического ряда измерений уменьшается при увеличении числа измерений, например, при n = 10 D() = 0,316 D_пр, а при n = 100 D() = 0,1D_пр.

При измерениях случайные и систематические погрешности проявляются одновременно. Если систематические погрешности отсутствуют или учтены поправками, то суммарная предельная погрешность определяется по формуле:

(1.18)

где D_прi – предельные погрешности измерительных приборов, установочных мер, от температурных деформаций, деформаций от измерительного усилия и др., из которых складывается суммарная погрешность данного измерения.

Чем уже поле рассеяния, меньше величина s, тем выше точность измерения, т.е. тем меньше величины случайных погрешностей измерения. По результатам измерения можно установить границы, внутри которых с определенной, заранее заданной исходя из эксплуатационных требований вероятностью, будут находиться значения многократных измерений. Эти границы определяют так называемый доверительный интервал. При законе нормального распределения доверительные интервалы определены границами ± 3s.

Доверительные интервалы – такие интервалы, между границами которых с определенными (заданными) вероятностями находится истинное значение измеряемой величины. Доверительный интервал с вероятностью Р накрывает истинное (неизвестное) значение измеряемой величины. Чем больше величина доверительного интервала, тем с большей вероятностью величина х (истинное значение измеряемой величины) попадает в этот интервал.

Дата добавления: 2014-01-04