Аксиоматическое обоснование

Основные этапы подхода MAUT

Представим этапы решения задачи при подходе MAUT.

1. Разработать перечень критериев.

2. Построить функции полезности по каждому из критериев.

3. Проверить некоторые условия, определяющие вид общей функции полезности.

4. Построить зависимость между оценками системы по критериям и общим качеством систем (многокритериальная функция полезности).

5. Оценить вес имеющиеся критерия и выбрать наилучшую.

Выдвигаются некоторые условия (аксиомы), которым должна удовлетворять функция полезности системы. В случае, если условия удовлетворяются, дается математическое доказательство существования функции полезности в том или ином виде. В MAUT эти условия можно разделить на две группы.

Первая группа — аксиомы общего характера, характеризующие общую эффективность, например итоговая выгодность решения или функционирования системы, отдельного его процесса.

1. Аксиома, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив: либо одна из них превосходит другую, либо они равны.

2. Аксиома транзитивности: из превосходства полезности альтернативы А над полезностью альтернативы В и превосходства полезности В над полезностью С следует превосходство полезности альтернативы А над полезностью альтернативы С.

3. Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имеющими вид

U(A)>U(B)>U(C), можно найти такие числа , , которые меньше 1 и больше 0, так что:

Аксиома 3 основана на предположении, что функция полезности непрерывна и что можно использовать любые малые части полезности альтернатив.

Вторая группа условий специфична для MAUT. Они называются аксиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям.

Приведем несколько условий независимости.

1. Независимость по разности. Предпочтения между двумя альтернативами, отличающимися лишь оценками по порядковой шкале одного критерия , не зависят от одинаковых (фиксированных) оценок по другим критериям .

На первый взгляд это условие кажется естественным и очевидным.

2. Независимость по полезности. Критерий называется независимым по полезности от критериев , если порядок предпочтений лотерей, в которых меняются лишь уровни критерия не зависит от фиксированных значений по другим критериям.

3. Независимости по предпочтению являются одним из наиболее важных и часто используемых условий. Два критерия и независимы по предпочтению от других критериев если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по и не зависят от фиксированных значений по другим критериям.

Приведем пример нарушения условия независимости по предпочтению — выбор дачи поставщика. Вполне возможно, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, если по критерию «Расстояние от города» оба варианта имеют оценку «поставщик в непосредственной близости». В то же время, если оба варианта имеют по последнему критерию оценку «Расстояние до поставщика», вариант В может оказаться предпочтительнее варианта А.

Первые два условия независимости относились к независимости одного критерия от остальных, третье условие — к независимости пары критериев от прочих.

Следствия из аксиом

Если аксиомы первой группы и некоторые из условий независимости выполнены, то из этого следует строгий вывод о существовании многокритериальной функции полезности в определенном виде. Т.е. если условия независимости по полезности и независимости по предпочтению выполнены, то функция полезности является аддитивной

при

либо мультипликативной

при

где - функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1;

- коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0< <1; коэффициент

Таким образом, многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов , к, а также однокритериальные функции полезности .

Рассмотрим применение количественного оценивания систем по функциям полезности применительно к выбору площадки для разгрузки поставок. Пусть в г. Омске имеется несколько площадок для разгрузки ж.д. негабаритных грузов. В качестве критериев выбора площадки принимается: стоимость пользования инфраструктуры, стоимость доставки до производственной площадки, затраты связанные с повреждением товара во время транспортировки.

Зная диапазон изменения оценок по каждому из критериев, построим функцию, определяющую полезность для ЛПР каждой оценки из этого диапазона. Максимальное значение этой функции положим равным единицы, а минимальное — нулю.

Таблица Разброс оценок вариантов организации доставки

Критерий	Омск Восточный	Омск Северный
стоимость пользования инфраструктуры, р/час
стоимость доставки до производственной площадки, р/маш
затраты связанные с повреждением товара во время транспортировки, р/ед	0,005	0,01

На рис. приведен пример построения функции полезности функционирования системы для критерия «Выбор места разгрузки».

Первоначально известны две точки функции полезности: U(670)=1, U(920)=0. Для нахождения промежуточных точек используются типовые качественные модели. В модели 1 ЛПР ставится следующая задача: «Оценить эквивалент определенности для события, имеющего с равными вероятностями (р=0,5) минимальную и максимальную стоимости пользования инфраструктуры». ЛПР предъявляют ряд значений (например, 700, 800 и т. д.) и спрашивают: выше или ниже данного значения находится, по его мнению, эквивалент определенности. Предположим, что ЛПР остановился на значении 720. Тогда делается вывод, что U=0,5 соответствует 720. Аналогично определяются другие значения функции полезности.

Для определения общей функции полезности необходимо проверить условия независимости по полезности и независимости по предпочтению.

Проверку условия независимости по полезности можно совместить с предыдущим этапом построения однокритериальных функций полезности.

Строго говоря, следовало бы рассмотреть и промежуточные значения, но обычно такая проверка считается достаточной. Что делать, если какие-то из условий независимости не выполняются? Теория не дает единственного ответа на этот вопрос. Предлагается определить группу независимых критериев, стоимость функции полезности для подгрупп зависимых и независимых критериев и общую функцию полезности «по частям» либо переформулировать задачу. Можно сказать, что нарушение условий независимости существенно усложняет задачу. Поэтому в дальнейшем мы предполагаем, что условия независимости выполняются.

Дата добавления: 2014-01-04