Теорема сложения вероятностей

Сочетания с повторениями

Если рассматривать неупорядоченные наборы, в которые входит k элементов из данных n, причем любой элемент может входить несколько раз (от 0 до k), то говорят, что рассматриваются сочетания с повторениями. Число таких всех сочетаний с повторениями обозначают .

Теорема. Число всех сочетаний с повторениями находится по формуле:

.

Теорема 1. (теорема сложения вероятностей). Если события А и В совместны, то справедлива формула

(1)

Следствие 1. Теорему 1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С:

(2)

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то вероятность событий А и В равна нулю (так как произведение событий – невозможное событие), и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

(3)

Определение. Противоположными событиями называют два несов­местных события, образующих полную группу (то есть одно из них обязательно произойдет в результате опыта). Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .

Замечание. Таким образом, заключается в том, что событие А не произошло.

Следствие 3. Вероятность противоположного события находится по формуле:

.

Теорема 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(4)

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (4).

Задача 1. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадает больше четырех очков?

Решение. Обозначим через событие А – выпало 5 очков; В – выпало 6 очков; С – выпало больше 4-х очков. Тогда ясно, что событие , где А и В – несовместные события. По формуле (3) получим

.

Задача 2. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.

Решение. Пусть событие А – из урны вынуто 5 шаров разного цвета, тогда событие , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле: :

а множество исходов, благоприятных событию – это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных:

Тогда а

Дата добавления: 2014-01-04