Формула полной вероятности. Определение. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий

Определение. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Тогда события называются гипотезами .

Теорема. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами , равна:

(1).

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Замечание. Формулу (1) можно записать в виде: где p (H_i) – вероятность i- й гипотезы, а р (A|H_i) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы.

Доказательство. Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН ₁, АН ₂,…, АН_п. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что

что и требовалось доказать.

Задача. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Рассмотрим три гипотезы. Будем считать гипотезами Н ₁, Н ₂ и Н ₃ выбор урны с соответствующим номером: Н ₁ – шар берется из 1-й урны; Н ₂ – шар берется из 2-й урны; Н ₃ – шар берется из 3-й урны. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможные, то Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: , . Тогда по формуле (1) имеем:

Дата добавления: 2014-01-04