Дисперсия случайной величины, имеющая плотность вероятности

ЛЕКЦИЯ 8

Теорема 1. Если случайная величина X имеет плотность вероятности , то её дисперсия находится по формуле: , где - математическое ожидание.

Теорема 2. Пусть случайная величина X равномерно распределена на отрезке , тогда дисперсия находится по формуле: .

Теорема 3. Пусть случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром , тогда дисперсия

Теорема 4. Пусть случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами и , тогда .

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии: .

Дополнительные числовые характеристики случайной величины:

Определение. Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение: . Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения вероятности имеет максимум:

Определение. Медианой М_е случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно (равновозможно) получение большего или меньшего значения случайной величины: .

Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если функция плотности распределения имеет ровно один максимум, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Пример. Найти моду и медиану, если случайная величина задана дифференциальной функцией распределения: в интервале , вне этого интервала .

Решение. Запишем дифференциальную функцию в виде . Отсюда видно, что дифференциальная функция достигает максимума при , следовательно . Поскольку кривая распределения представляет параболу, то она симметрична относительно прямой , следовательно, М_е=2.

Дата добавления: 2014-01-04