Выборочное среднее (среднее арифметическое)

Определение. Рассмотрим случайную величину X. Пусть для нахождения значений этой случайной величины производится серия из опытов, затем эта серия несколько раз повторяется. Рассмотрим следующие случайные величины:

– это значение случайной величины в первом опыте при переходе от серии к серии; – это значение случайной величины во втором опыте при переходе от серии к серии; …………

– это значение случайной величины в опыте при переходе от серии к серии. Выборочным средним (средним арифметическим) называется случайная величина .

Будем считать, что случайные величины :

1. попарно независимые;

2. имеют тот же самый закон распределения, что и случайная величина .

То есть , .

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин: .

2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсиикаждой из величин: .

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин: .

Теорема (о выборочном среднем). Пусть случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию , тогда ее выборочное среднее имеет математическое ожидание , а дисперсию .

Дата добавления: 2014-01-04