Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестноститочкиопределена функцияПроизводной функции f в точке x ₀ называетсяпредел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f (x) в точке x ₀

1. Назовём Δ x = x − x ₀приращением аргумента функции, а Δ y = f (x ₀ + Δ x) − f (x ₀) приращением значения функции в точке x ₀. Тогда

2. Пусть функция имеет конечную производную в каждой точкеТогда определена производная функция

3. Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём

Шаг 2. Найдём приращение функции:

Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , т.е. производную:

Дата добавления: 2014-01-04