Предмет и задачи ЦОС

Теория ЦОС полностью связана с самим процессом обработки цифровых сигналов в конкретной вычислительной среде и, как правило, не зависит от целей преобразования, которая определяется областью применения.

С позиции самых общих представлений проектирование систем и устройств ЦОС включает 3 этапа (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Этапы проектирования систем и устройств ЦОС.

На I этапе (этапе математического синтеза) синтезируется оператор F в форме математических выражений

связывающих вход x (n) и выход y (n) ЦСП (ЦПОС) и обеспечивающий достижение заданной цели преобразования Z, например, воспроизведение желаемой частотной характеристики фильтра с заданной точностью. При этом не учитывается конкретная среда реализации оператора F.

На II этапе (этапе многокритериальной оптимизации) строится оператор P, который синтезирует (модифицирует) математический оператор F или некоторую функцию оператора F с учётом ограничений S, накладываемых конкретной средой реализации.

Решение задач, поставленных на этапе многокритериальной оптимизации, составляет предметную область ЦОС. Теории и методы ЦОС должны показать, как достигнуть поставленной цели преобразования Z при общих минимальных затратах на реализацию оператора P в конкретной вычислительной среде.

На III этапе (этапе эффективной программной реализации оператора P) завершается процесс проектирования систем ЦОС.

Весь комплекс задач, которые встают на пути разработчика систем и устройств ЦОС, можно свести к следующим:

1) Проблема представления аналогового сигнала в цифровой форме.

2) Проблема выбора класса цифровых цепей и преобразований, обеспечивающих воспроизведение заданного математического оператора F или его функции с априорно заданной точностью (этап математического синтеза).

3) Проблема аппроксимации математического оператора F в заданном классе цифровых цепей.

4) Проблема синтеза (выбора) структуры оператора P и оптимизации ее параметров (этап многокритериальной оптимизации).

5) Проблема анализа влияния собственных шумов и неточного представления параметров оператора P на точность воспроизведения желаемых характеристик.

6) Проблема синтеза малошумящих и низкочувствительных к неточному представлению коэффициентов структур оператора преобразования P.

7) Проблема выбора схемотехнического решения и создания эффективного программного обеспечения.

2. Цифровая частотная селекция сигналов: оптимальное проектирование на сигнальных процессорах

2.1. Математическая постановка задачи оптимального проектирования

Рассмотрим задачу проектирования цифрового НЧ фильтра.

Требуется построить цифровой фильтр, воспроизводящий частотную характеристику с заданными требованиями частотной избирательности (рис. 2.1):

Рис. 2.1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра.

ω_с1 – частота среза полосы пропускания (ω=2πfT – приведенная круговая частота (, T – период дискретизации));

ω_с2 – частота среза зоны непрозрачности;

ε_1доп – допустимая неравномерность (спад) АЧХ в полосе пропускания (ε_1доп =0.1÷0.5 дБ);

ε_2доп – допустимый уровень боковых лепестков (степень подавления) АЧХ в зоне непрозрачности (ε_2доп =40÷120 дБ);

H (ω) – АЧХ идеального фильтра;

H_В (ω) – воспроизводимая АЧХ.

Фазочастотную характеристику обычно задают абсолютно линейную.

Встаёт вопрос: Если известно H (jω), как найти оператор F?

и, соответственно, преобразование вида (рис. 2.2)

Рис. 2.2. Цифровой фильтр.

Проектируемую линейную цифровую цепь представим как совокупность элементарных цифровых звеньев, соединённых друг с другом некоторым образом.

К числу элементарных цифровых звеньев отнесём:

1. Сумматор (рис. 2.3)

Рис. 2.3. Сумматор.

2. Умножитель на константу (рис. 2.4)

Рис. 2.4. Умножитель на константу.

3. Элемент задержки (рис. 2.5)

Рис. 2.5. Элемент задержки.

Правило, по которому цифровая цепь отображает входное воздействие x (nT) в реакцию y (nT), обозначим F и назовём оператором цифровой цепи.

Примеры подклассов цифровых цепей:

Пример 1: Цифровой КИХ-фильтр 4-го порядка (N=4) (рис. 2.6)

Рис. 2.6. Цифровой КИХ-фильтр 4-го порядка.

Пример 2: Цифровой БИХ-фильтр 2-го порядка (M=L=2) (рис. 2.7)

Рис. 2.7. Цифровой БИХ-фильтр 2-го порядка.

Под проектированием линейной цифровой цепи в самом общем случае будем понимать синтез некоторого оператора F, выполняющего линейное преобразование пространства входных сигналов х (пТ) в пространство выходных сигналов y (пТ) с целью воспроизведения заданной функции передачи (комплексной ЧХ) H (jω), где c заданной точностью (f – частота (Гц), T – период дискретизации). Поскольку ЧХ цифровой цепи является периодической с периодом, приведенная круговая частота ω измеряется в диапазоне или

В зависимости от принятой структуры цифровой цепи, которая зависит от используемого метода проек­тирования (т.е. совокупности правил, по которым строится цифровая цепь), оператор F будет иметь различное математическое ожидание. Поэтому будем полагать, что различным структурным реализациям оператора F соответствуют различные подклассы класса операторов (), обеспечивающих воспроизведение желаемой функции передачи цифровой цепи H (jω), с наперёд за­данной точностью.

Пространство функций передачи H_B (jω), строго воспроизводимых в классе операторов G_F, обозначим R, т.е.. При этом желаемая функция передачи, как правило, не принадлежит пространству R ().

Однако, для произвольной H (jω) должна существовать в R такая последовательность строго воспроизводимых функций передачи,для которой при любом сколь угодно малом ε>0 можно найти такое n, при котором для всех l ≥ n имеет место неравенство вида

где – метрика пространства R, определяющая расстояние между двумя функциями.

В теории цепей в качестве метрики пространства используется максимальное отклонение одной функции от другой на всём интервале наблюдения функции. Соответственно критерий аппроксимации называют минимаксным.

Т.о. можно записать

где

Используя введенные выше понятия и обозначения, задачу проектирования линейной цифровой цепи сформулируем следующим образом: найти подкласс и оператор, такие, что

где ε_доп – допустимое отклонение, в смысле метрика пространства R, функции передачи H_B (jω) от желаемой H (jω).

Если цель проектирования цифровой цепи связана не только с воспроизведением заданной функции передачи, но и с оптимизацией некоторой функции качества (целевой функции) при одновременном выполнении граничных условий, то задачу оптимального проектирования сформулируем в следующем виде.

Найти подкласс операторов и оператор, такие, что:

где – целевая функция, а – вектор граничных условий, связанных с конкретной реализацией оператора.

Под оптимальным проектированием цифровой цепи (2.1) будем понимать, такое проектирование, которое предполагает поиск наилучших, в смысле принятого критерия качества, структуры цепи и параметров оператора F, обеспечивающего воспроизведение желаемой функции передачи с заданной точностью.

Рассмотренная выше математическая постановка задачи требует конкретизации всех соотношений, входящих в её формулировку. Возникающие здесь вопросы можно разделить на три группы:

1. Описание и формализация класса операторов G_F, обеспечивающих воспроизведение желаемой функции передачи H (jω) с наперёд заданной точностью ε_доп в метрике пространства R.

2. Описание и формализация подклассов в классе операторов G_F (описание методов проектирования цифровой цепи).

3. Представление целевой функции и области ограничений для каждого подкласса.

Дата добавления: 2014-01-04