Методы построения структур БИХ-фильтров

Методы построения цифровых фильтров в классе БИХ-цепей и их свойства

Постановка и решение задачи аппроксимации в классе БИХ-цепей

Математический синтез ЦФ в классе КИХ-цепей. Постановка и решение задачи аппроксимации

Общее математическое описание цифровых цепей, инвариантных к сдвигу

Описание и формализация класса операторов линейных цифровых цепей

Цифровая цепь (ЦЦ) называется инвариантной к сдвигу, если реакция на выходе не зависит от момента воздействия.

Если y (n) является реакцией на воздействие x (n), то реакцией на воздействие x (n-k) будет y (n-k).

Сигнал y (n) на выходе инвариантной к сдвигу ЦЦ связан с сигналом x (n) на ее входе следующим выражением общего вида:

где h (k) – весовая функция, которая является импульсной характеристикой цепи.

Импульсной характеристикой цепи называется её реакция на единичный импульс:

Фундаментальное свойство линейных инвариантных к сдвигу ЦЦ: все свойства и характеристики цепи полностью определяются ее импульсной характеристикой, в частности, частотная характеристика H (jω) и импульсная характеристика h (n) связаны друг с другом преобразованием Фурье.

где

Реакция ЦЦ, согласно (2.2), представляет собой сумму сдвинутых по времени и взвешенных входной последовательностью x (n-k) отсчётов импульсной характеристики h (k) (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Вычисление реакции y (n) на выходе ЦЦ по заданной последовательности x (n) отсчетов входного сигнала и импульсной характеристики h (n).

Реализация ЦЦ в форме (2.2) наталкивается на проблему устойчивости и физической реализуемости цепи. Устойчивой ЦЦ назовём цепь, в которой каждый ограниченный по амплитуде входной сигнал создаёт ограниченный по амплитуде выходной сигнал. ЦЦ устойчива тогда и только тогда, когда выполняется неравенство вида

Физически реализуемая ЦЦ – это цепь, у которой изменение на выходе по времени не опережает изменение на входе. Условие физической реализуемости выполняется тогда и только тогда, когда её импульсная характеристика равна нулю при всех отрицательных n (h (n)=0, для всех n <0).

Выражение (2.2) называют линейной свёрткой двух временных последовательностей x (n) и h (n).

Пусть импульсная характеристика цепи принимает отличные от нуля значения на интервале от –N/2 до +N/2.

Тогда свёртка (2.2) принимает следующий вид:

Оператор (2.3) является абсолютно устойчивым, но физически нереализуем.

Однако переход к физически реализуемой цепи легко выполнить путём простой задержки импульсной характеристики на половину её длины.

где

Отметим, что физически реализуемая цепь (КИХ-цепь) всегда вносит задержку на половину длины импульсной характеристики (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Задержка импульсной характеристики на половину её длины.

Это является главным недостатком КИХ-цепи. Также отметим, что, если по алгоритму (2.3) реализуется фазовый фильтр с нулевой фазовой характеристикой, то для реализуемой цепи (2.4) фазовая характеристика является линейной.

Встаёт вопрос: Как можно связать описанный выше класс цифровых цепей с пространством строго воспроизводимых функций передачи H_B (jω)?

Установлено, что для линейных инвариантных к сдвигу ЦЦ импульсная характеристика цепи и воспроизводимая функция передачи H (jω) связаны друг с другом прямым и обратным преобразованием Фурье.

Соответственно для класса КИХ-цепей N -го порядка соответствующие преобразования принимают следующий вид

Для ЦЦ с линейной ФЧХ импульсная характеристика h (n) является симметричной, т.е. выполняется условие вида

h (-n) = h (n) для всех

Если учесть это в (2.5), приходим к выражению вида

– тригонометрический полином.

Эффект колебаний Гиббса

Если желаемая частотная характеристика имеет прямоугольный вид, то воспроизводимая частотная характеристика реализуемого фильтра получается как свёртка в частотной области прямоугольной ЧХ H (ω) и спектрального окна W (ω) вида sin(ω) /ω, соответствующего прямоугольной весовой функции W (n) (рис. 2.10 и рис. 2.11):

Рис. 2.10. Желаемая частотная характеристика и спектральное окно.

Рис. 2.11. Воспроизводимая частотная характеристика.

Заметим, что уровень боковых лепестков в зоне непрозрачности достигает 13 дБ по первому лепестку. При этом, если увеличить длину прямоугольного окна, то пропорционально увеличивается частота колебаний и сужается переходная зона АЧХ. Но при этом первый лепесток в зоне непрозрачности лежит на уровне 13 дБ.

Решение задачи аппроксимации опирается на один из двух подходов:

· оконные методы (не оптимальное решение);

· минимаксная аппроксимация (с использованием численных методов оптимизации).

1. Окно Бартлета (треугольное) (рис. 2.12)

Рис. 2.12. Окно Бартлета.

Позволяет уменьшить уровень колебаний Гиббса на 25 дБ, но сопровождается уменьшением показателя прямоугольности АЧХ в 2 раза.

2. Окно Хэннинга («косинус на пьедестале») (рис. 2.13)

Рис. 2.13. Окно Хэннинга.

При той же эффективной ширине полосы пропускания, что и у треугольного окна, позволяет уменьшить уровень колебаний Гиббса до 31 дБ.

3. Окно Хэмминга

Близкое по форме к «косинусу на пьедестале», но позволяющее уменьшить уровень колебаний Гиббса до 41 дБ. Однако, не обеспечивает столь быстрого ослабления боковых лепестков с увеличением частоты, которое имеет место для прямоугольного и треугольного окон.

Все эти окна не дают оптимального решения, т.е. не обеспечивают минимального уровня боковых лепестков при заданной ширине переходной зоны АЧХ.

Представление с наперед заданной точностью желаемой частотной характеристики H (ω), не принадлежащей пространству функций R_N, имеет место для всех функций H (ω), отвечающих условиям теоремы Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса: для любой непрерывной на заданном интервале периодичности от –π до +π четной функции H (ω) и любого ε_доп >0 найдется такое N -мерное пространство функций R_N строго воспроизводимых функций передачи H_B (ω), при котором для всех M≥N будет иметь место следующее неравенство:

С учётом изложенного, задачу аппроксимации в классе КИХ-цепей сформулируем следующим образом: найти минимальный порядок N и импульсную характеристику h (n), цепи N -го порядка, которая, в смысле выбранного критерия близости (2.6), обеспечивает воспроизведение желаемой частотной характеристики H (ω) с заданной точностью ε_доп и весовой функцией p (ω).

Решение задачи аппроксимации опирается на известную равноволновую аппроксимацию по Чебышеву, алгоритм Ремеза и программу Паркса–Мак-Клеллана.

К недостаткам класса КИХ-цепей относятся:

1. Значительный объём вычислительных затрат и памяти данных, обусловленный плохой сходимостью тригонометрического многочлена при решении задач аппроксимации (порядок N достигает сотни и тысячи единиц).

2. КИХ-фильтры дают постоянную задержку равную половине длины импульсной характеристики.

2.2.3. Z- преобразование и его свойства

Пусть x (n) – некоторая временная последовательность, в общем случае заданная при всех Тогда преобразование вида

Z- преобразование, где z – комплексная переменная. X (z) – Z- образ последовательности x (n).

Имеет место обратное Z- преобразование

Свойства Z- преобразований

1) Линейность

Если тогда

2) Задержка

3) Свёртка

Пусть

Установим связь между Z- образом выходного сигнала, Z- образом входного сигнала и Z- образом импульсной характеристики.

Найдём Z- преобразование левой и правой части свёртки, используя свойства линейности и задержки, установленные выше.

Используя и меняя порядок суммирования, получим

Отсюда следует

Таким образом, получим:

Здесь H (z) определяет преобразование Z- образа X (z) входного сигнала при его прохождении через цифровую цепь. H (z) называют передаточной или системной функцией цепи.

Установлено, что между передаточной функцией H (z) и комплексной частотной характеристикой H (jω) имеет место простая связь.

Таким образом, выполнив подстановку вида, получим:

Примеры вычисления Z- преобразований.

1)

2)

Последнее выражение показывает, что геометрическая прогрессия сходится, и существует Z- образ x (n), если модуль. Иначе говоря, областью сходимости является единичный круг.

2.2.4. БИХ-цепи: математическое описание и свойства

В классе БИХ-цепей вход x (n) и выход y (n) связаны друг с другом разностным уравнением вида:

где a_k и b_l – постоянные коэффициенты.

Приняв a₀ =1 и перенеся все составляющие выходного сигнала, кроме текущего y (n), в правую часть, получим:

Отметим, что в соответствии с прямой формой реализации (2.10) можно вычислить текущее значение y (n) по входному значению x (n), извлекая из памяти данных L предшествующих отсчётов входного сигнала x (n-l) и M отсчётов выходного сигнала y (n-k).

Встаёт вопрос: как установить связь между множеством коэффициентов (a_k, b_l) и пространством строго воспроизводимых функций передачи H_в (jω).

Применяя Z- преобразование к обеим частям уравнения (2.9), получим

Используя подстановки вида m=n-k, r=n-l и меняя порядок суммирования, получим

Тогда

Выполнив подстановку в выражение (2.11), получим функцию передачи БИХ-цепи

Постановка задачи:

Требуется найти минимальный порядок D-мерного вектора (D=M+L+2) весовых коэффициентов и сам вектор, такие, что имеет место неравенство вида

где p (ω) – весовая функция, ε_доп – допустимое отклонение воспроизводимой функции передачи от желаемой. Воспроизводимая функция передачи может быть найдена из выражения (2.12).

Решение:

Поиск оптимального решения по критерию (2.13) может выполняться методами машинной аппроксимации. Однако такой подход не даёт чётко обозначенной методики поиска, и, как правило, используется метод перебора. Поэтому оптимальное решение можно найти для сравнительно малых значений M и L при малоразрядном квантовании коэффициентов.

На практике нашли место косвенные методы расчёта БИХ-фильтров частотной селекции. Идея метода заключается в использовании хорошо разработанной методики синтеза аналоговых фильтров с последующим использованием билинейного преобразования для перехода.

Отметим, что билинейное преобразование является нелинейным и это приводит к нелинейному преобразованию частот. Надо взять частоты среза f_c1, f_c2 таким образом, чтобы в процессе преобразования они попали в ту область частот, которая задаётся для характеристик цифрового фильтра.

Примеры расчёта фильтров

1. Фильтр Баттерворта (рис. 2.14)

M₃ > M₂ > M₁

Рис. 2.14. Фильтр Баттерворта.

Этот фильтр обладает фазовой характеристикой близкой к линейной и относительно высокой степенью устойчивости. Но для достижения необхо­димой частотной избирательности требуется очень высокий порядок М.

2. Фильтр Чебышева (рис. 2.15)

где ε – показатель пульсаций; V_n – полином Чебышева порядка n, который может быть образован с помощью рекурсивной формулы

причем и

Рис. 2.15. Прямой и инверсный фильтры Чебышева.

3. Эллиптический фильтр (рис. 2.16)

где R_n – рациональная эллиптическая функция n -го порядка; ξ – показатель селективности; ε – показатель пульсаций.

Рис. 2.16. Эллиптический фильтр.

Данный фильтр по-существу является оптимальным в смысле принятого критерия, поскольку при заданной ширине переходной зоны АЧХ обеспечивается максимальное подавление боковых лепестков в зоне непрозрачности.

Пусть передаточная функция цифрового фильтра

Используя обратное Z- преобразование, получим прямую форму реализации БИХ-цепи M -го порядка

Графическое отображение прямой формы реализации представим в виде (рис. 2.17)

Рис. 2.17. Прямая форма БИХ-фильтра M-го порядка.

Заметим, что верхняя половина реализует нули передаточной функции (2.14), а нижняя половина её полюсы. Отметим также, что эти фильтры, формирующие нули и полюсы, соединены последовательно, где V (n) – реакция первого фильтра, y (n) – окончательная реакция на выходе второго фильтра.

Меняя порядок суммирования нулей и полюсов, получим (рис. 2.18):

Рис. 2.18. Переход от прямой формы БИХ-фильтра к канонической.

Исключив, лишнюю линию задержки для промежуточной переменной V (n), получим каноническую форму реализации БИХ-цепи (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Каноническая форма БИХ-фильтра.

Отметим, что каноническая форма позволяет уменьшить ёмкость памяти данных до двух раз. Однако прямая и каноническая формы используются на практике только для фильтров, порядок которых меньше пяти (M <5), т.к. с увеличением порядка M многократно увеличивается чувствительность частотных характеристик к неточному представлению коэффициентов, и встаёт проблема их устойчивой работы.

На практике нашли применение, как правило, последовательная, реже параллельная формы реализации БИХ-цепи в виде последовательного и параллельного соединения звеньев первого и второго порядков.

Параллельная форма

Разделив числитель на знаменатель передаточной функции (2.14), представим исходную дробно-рациональную функцию в виде разложения на простые дроби

где A_k, B_k,…, F_k – коэффициенты;

N₁ – число фильтров первого порядка;

N₂ – число фильтров второго порядка.

Последовательная форма

Представив числитель и знаменатель передаточной функции (2.14), в форме произведения простых сомножителей первого и второго порядка, получим

Пример: реализации БИХ-цепи пятого порядка (M=5, L=3) (рис. 2.20)

Рис. 2.20. Последовательная (каскадная) форма БИХ-фильтра.

Последовательная форма реализации БИХ-цепи имеет следующие преимущества:

· Значительное уменьшение чувствительности характеристик БИХ-цепи к неточному представлению коэффициентов.

· Появляется возможность оптимизации порядка соединения фильтров 1-го и 2-го порядков для минимизации уровня собственных шумов.

· Открывается возможность простой многопроцессорной реализации цифрового фильтра, работающего в режиме реального времени на высокой частоте дискретизации.

2.3.2. БИХ-фильтры 1-го порядка: основные характеристики и свойства

Рис. 2.21. БИХ-фильтр 1-го порядка.

Вход x (n) и выход y (n) связаны выражением вида:

Взяв Z- преобразование левой и правой части, получим

Таким образом, передаточная функция

При этом нуль-полюсная диаграмма принимает следующий вид (рис. 2.22)

Рис. 2.22. Положение нулей и полюсов передаточной функции БИХ-фильтра 1-го порядка.

Подставив в (2.19), получим функцию передачи (частотную характеристику) цепи

Таким образом, АЧХ и ФЧХ принимают следующий вид

Анализ выражения (2.20) показывает, что в зависимости от знака коэффициента b цифровой фильтр может быть либо НЧ, либо ВЧ (рис. 2.23).

Рис. 2.23. АЧХ и ФЧХ БИХ-фильтра 1-го порядка.

С увеличением коэффициента b фильтр становится более узкополосным, более избирательным. Однако при |b| >1 фильтр выходит за границы устойчивости.

Найдём импульсную характеристику фильтра 1-го порядка как реакцию на единичный импульс

При этом для нулевых начальных условий (h (-1)=0) можно показать, что h (n) =abⁿ: h (0) =a, h (1) =ab, h (2) =ab² и т.д.

Рассмотрим примеры графического изображения импульсной характеристики (рис. 2.24).

Рис. 2.24. Примеры графического изображения импульсной характеристики БИХ-фильтра 1-го порядка.

Найдём выражение, определяющее переходную характеристику. Используя Z- преобразование и учитывая, что для единичной функции x (n)

Z- образ X (z)

получим, что Z- образ переходной характеристики принимает следующий вид:

Используя обратное Z- преобразование, окончательно получим

Пример.

Рис. 2.25. Переходная характеристики БИХ-фильтра 1-го порядка.

БИХ-фильтр устойчив при условии |b| <1 и неустойчив, если |b| >1. На границе устойчивости, если b =1, структура фильтра преобразуется в цифровой интегратор (рис. 2.26).

Рис. 2.26. Цифровой интегратор.

2.3.3. БИХ-фильтры 2-го порядка: основные характеристики и свойства

Рис. 2.27. БИХ-фильтр 2-го порядка.

Вход x (n) и выход y (n) связаны выражением вида:

Найдём Z- преобразование левой и правой части

Тогда передаточная функция

Полюсы передаточной функции (рис. 2.28):

Рис. 2.28. Положение нулей и полюсов передаточной функции БИХ-фильтра 2-го порядка.

Используя подстановку вида, получим выражение для окончательной частотной характеристики фильтра

АЧХ и ФЧХ принимают следующий вид:

Определим связь коэффициентов b₁ и b₂ с положением полюсов. С этой целью выражение (2.24) преобразуем к виду

В зависимости от знака подкоренного выражения (2.25) полюсы могут быть действительными или комплексно-сопряжёнными.

Действительные полюсы.

Действительные полюсы имеют место, если

В зависимости от z_П1, z_П2 нуль-полюсные диаграммы и АЧХ фильтра будут иметь следующий вид (рис. 2.29).

Рис. 2.29. Нуль-полюсные диаграммы и АЧХ БИХ-фильтра 2-го порядка для действительных полюсов.

Импульсную характеристику БИХ-фильтра второго порядка можно определить через обратные Z- преобразования его передаточной функции H (z). С этой целью представим исходную передаточную функцию в следующем виде:

Известно, что Z- образу вида соответствует оригинал.

Таким образом, импульсная характеристика фильтра может быть представлена в следующем виде:

Для нахождения коэффициентов A и B воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Путём приведения к общему знаменателю (2.15) представим в следующем виде:

Сравнивая (2.28) и (2.30) получим:

Отсюда

Таким образом,

Подставим (2.31) в выражение (2.29)

При действительных значениях полюсов z_П1 и z_П2 импульсная характеристика, в соответствии с (2.32), представляет собой сумму двух экспоненциальных последовательностей. При этом, если модули полюсов меньше единицы и z_П1 <0 и (или) z_П2 <0, импульсная характеристика носит знакопеременный затухающий характер.

Комплексно-сопряжённые полюсы

Комплексно-сопряжённые полюсы имеют место, когда

Нульполюсная диаграмма и АЧХ принимают следующий вид (рис. 2.30):

Рис. 2.30. Нуль-полюсная диаграмма и АЧХ БИХ-фильтра 2-го порядка для комплексно-сопряжённых полюсов.

Представим комплексно-сопряжённые полюсы в следующей форме:

Подставив (2.33) в (2.24), передаточную функцию представим в виде:

Импульсную характеристику фильтра через полюса её передаточной функции можно получить, подставив (2.33) в выражение (2.32) (рис. 2.31).

Рис. 2.31. Импульсная характеристика БИХ-фильтра 2-го порядка.

Переходную характеристику g (n) фильтра второго порядка можно определить по той же методике, которая была использована для нахождения фильтра первого порядка.

Дата добавления: 2014-01-04