Дискретное преобразование Фурье и его свойства

Метод частотной выборки

Пусть необходимо реализовать фильтр со следующей частотной характеристикой (рис. 2.35):

Рис. 2.35. Желаемая частотная характеристика фильтра.

Анализ представленного рисунка показывает, что любая желаемая частотная характеристика H (ω) может быть воспроизведена с любой априорно заданной точностью путём параллельного соединения интерполирующих фильтров с частотной характеристикой, близкой к функции sin (ω) /ω, и последующей весовой обработкой с использованием набора выборок H (k),.

Для построения интерполирующего фильтра необходимо воспользоваться элементарным гребенчатым фильтром с передаточной функцией вида

,

формирующей N нулей передаточной функции, равномерно расположенных на окружности с шагом Δ ω=2π/N, и цифровым резонатором (БИХ-фильтром первого порядка с комплексным коэффициентом), формирующим полюс передаточной функции на частоте Δ ω=2πk/N, имеющим передаточную функцию вида

где.

Пример:

Пусть N =4, k =0 (рис. 2.36)

Рис. 2.36. Нуль-полюсная диаграмма и АЧХ фильтра на основе метода частотной выборки.

,

.

Таким образом, общая структура цифрового КИХ-фильтра N -го порядка, реализуемая по методу частотной выборки, может быть представлена в следующем виде (рис. 2.37).

Рис. 2.37. Структура цифрового КИХ-фильтра N-го порядка, реализуемая по методу частотной выборки.

При этом передаточная функция

Подставив, получим комплексную частотную характеристику фильтра в следующем виде:

где – частотная характеристика базового интерполирующего фильтра.

Данная структура очень эффективна с позиции минимизации вычислительных затрат, когда речь идёт о построении узкополосных фильтров, т.к. при этом требуемое число цифровых резонаторов M, определяемое полосой пропускания, много меньше порядка фильтра N (M << N) (Обычно M =3÷12, N >1000).

Кроме того, если речь идёт о построении набора фильтров с различными частотными характеристиками, работающими на один входной сигнал, то переход от одного фильтра к другому определяется только операциями умножения на последовательность частотных выборок. Достоинством данного метода по отношению к набору резонаторов является обеспечение ФЧХ близкой к линейной.

Недостаток: использование БИХ-фильтров, формирующих полюсы, с высокоточным представлением коэффициентов. Требуемая точность представления q лежит в пределах 30 бит и больше.

Отметим, что набор частотных выборок H (k) и отсчётов импульсной характеристики h (n) связаны друг с другом прямым и обратным ДПФ, а именно

Пусть x (n) – временная последовательность, которая задана на интервале. Тогда преобразование вида

На рисунке 2.38 представлен общий вид базисных функций ДПФ для дискретных частот при k = 1, 2 и 3. Из представленного рисунка следует, что временные отсчёты всех базисных функций при могут быть получены из основной функции (k =1) путем прореживания с коэффициентом децимации υ = k, пропорциональным сжатием и периодическим продолжением.

Рис. 2.38. Временные последовательности sin(2 πkn / N).

Отметим, что в соответствии с (2.44), для выполнения N -точечного ДПФ требуется N² операций умножения и накопления.

Свойства ДПФ:

1) Линейность

2) Задержка

3) Симметрия

4) Круговая свёртка дискретных спектров

ДПФ круговой свёртки последовательностей x^* (n) и h (n) определяется произведением ДПФ сворачиваемых последовательностей:

Дата добавления: 2014-01-04