Методы построения структур КИХ-фильтров

Методы построения цифровых фильтров в классе КИХ-цепей и их свойства

Биквадратный блок второго порядка

Предполагает наличие не только полюсов, но и нулей передаточной функции, отличных от нулевого значения (рис. 2.32).

Рис. 2.32. Биквадратный блок 2-го порядка.

Передаточная функция принимает следующий вид:

Передаточную функцию (2.36) представим в виде произведения передаточных функций БИХ-фильтра второго порядка, формирующего 2 нуля.

АЧХ цифрового блока определяется, как произведение АЧХ БИХ- и КИХ-фильтров

а ФЧХ – как сумма

Импульсная характеристика биквадратного блока является свёрткой импульсных характеристик БИХ- и КИХ-фильтров.

В результате соответствующих преобразований, используя выражение (2.32), полученное в предыдущем разделе для БИХ-фильтра, представим свёртку (2.37) в следующем виде:

Получим

В случае, если z_П1 и z_П2 является комплексно-сопряжёнными, выражение (2.37) можно представить в следующем виде (рис. 2.33):

Рис. 2.33. АЧХ и импульсная характеристика для биквадратного блока 2-го порядка.

Рис. 2.34. Классификация методов построения ЦФ в классе КИХ-цепей.

Линейная свёртка

Реализация свёртки предполагает, что для КИХ-фильтра N -го порядка используется вычисление выхода сигнала y (n) по выражению вида

в случае прямой формы.

В случае каскадной формы предполагается, что КИХ-фильтр N -го порядка реализуется, как последовательное соединение фильтров меньшего порядка. Например, при двухкаскадной форме порядок фильтров — N/2, при трёхкаскадной — N/3. При этом нет выигрыша ни в вычислительных затратах, ни в памяти. Но значительно уменьшается требование к точности представления коэффициентов последовательно соединённых фильтров.

Пример: пусть необходимо обеспечить избирательность фильтра в зоне непрозрачности 80 дБ. Расчёты показывают, что для обеспечения точности приближения к желаемой характеристике 10^-4, требуемая разрядность должна быть не меньше 16 бит. При этом, если используются сигнальные процессоры или микроконтроллеры с 12-битным представлением коэффициентов, то необходимая точность обеспечена быть не может. Если использовать двухкаскадную форму реализации, то для обеспечения суммарной избирательности 80 дБ, достаточно, чтобы каждый фильтр обеспечивал 40 дБ, а для этого достаточно 10 бит.

Многоскоростная обработка предполагает использование эффекта понижения и повышения частоты дискретизации в процессе обработки сигнала с целью значительного уменьшения приведённых вычислительных затрат и памяти данных.

Интерполяция

Заметим, что прямая форма реализации (2.40) обеспечивает построение КИХ-фильтра с передаточной функцией вида

которая представляет собой многочлен N -го порядка.

Известно, что полином степени N-1 однозначно определяется его значениями в N определённых точках. Следовательно, задавшись N -мерным множеством точек в Z- области, например на единичной окружности, и используя интерполяционные формулы, можно получить функцию передачи КИХ-цепи H (jω), совпадающую с желаемой в N узловых точках, и отличающуюся в промежутках в сравнительно небольших пределах. Именно этот факт лежит в основе методов интерполяции, среди которых нашёл наибольшее применение метод частотной выборки.

Двойное преобразование

Двойное преобразование базируется на использовании известного фундаментального свойства, которое заключается в том, что некое дискретное преобразование двух сворачиваемых последовательностей, отвечающих условиям периодичности на интервале преобразования, определяется как произведение дискретных преобразований сворачиваемых временных последовательностей. Это означает, что если для получения N отсчётов выходного сигнала y (n) непосредственно из (2.40) требуется N² операций умножения с накоплением, то для вычисления произведения дискретных преобразований сворачиваемых последовательностей требуется N преобразований. Поэтому, если имеет место алгоритм быстрого перехода из временной области в область некоторого дискретного преобразования и обратно, то появляется возможность значительного снижения вычислительных затрат.

Если речь идёт о БПФ, в качестве дискретного преобразования используется дискретное Фурье-преобразование, которое для заданной временной последовательности формирует Фурье-образ (дискретный спектр). При этом оказывается, что для вычисления N -точечного БПФ требуется N*log₂N операций.

В случае теоретико-числовых преобразований (ТЧП) используется переход из временной области в некоторую абстрактную область, формируемую методами теории чисел. При этом для перехода не требуется операций умножения.

Дата добавления: 2014-01-04