Шум АЦП. Модель шума квантования

К эффектам конечной разрядности представления чисел в системах ЦОС относят:

1) шум аналого-цифрового преобразователя (АЦП);

2) некоррелированный шум округления;

3) отклонение от расчётных характеристик, обусловленных квантованием коэффициентов;

4) коррелированный шум округления, проявляющийся в виде предельных циклов.

Модель АЦП включает в себя следующие блоки (рис. 4.1):

Рис. 4.1. Модель АЦП.

Характеристика квантователя при использовании операции округления (рис. 4.2):

Рис. 4.2. Характеристика квантователя при использовании операции округления.

Заметим, что сигнал ошибки

лежит в пределах шага квантования Q (). Поэтому можно считать, что квантователь выполняет условно-линейное преобразование сигнала, но при этом к выходу преобразователя подключается источник шума квантователя e (n), представляющего собой случайный процесс с нулевым мат. ожиданием m =0 при округлении и с m = Q /2 при усечении. При этом шум имеет плотность вероятности вида (рис. 4.3):

Рис. 4.3. Плотность вероятности шума квантователя.

и равномерную спектральную плотность мощности (СПМ).

Рис. 4.4. Схема формирования выходного сигнала с добавлением шума квантования.

Найдём оценку дисперсии шума квантования.

Выражение (4.1) устанавливает связь между шагом квантования и дисперсией.

Представленная модель имеет место и широко используется, если разрядность представления q≥ 5.

4.2. Шум округления в цифровых фильтрах при представлении чисел

с фиксированной точкой

Источником шума округления в цифровых фильтрах является округление результатов умножения промежуточных переменных на весовой коэффициент. Например, если оба перемноженных числа имеют q -разрядное представление (беззнаковое), то результат умножения даёт 2 q разряда. При этом если процессор q –разрядный, то необходимо отбросить (усечение) или округлить результат умножения до q разряда. При этом модель источника шума округления принимает следующий вид (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Схема формирования выходного сигнала с добавлением шума округления и шума квантования.

Отметим, что как и для шума АЦП, шум округления является случайным процессом с равномерным распределением, равномерной СПМ и дисперсией

Пример: Рассмотрим шумовую модель БИХ-фильтра третьего порядка (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Шумовую модель БИХ-фильтра третьего порядка.

Для моделирования и анализа эффектов округления в цифровом фильтре необходимо сделать некоторые предположения относительно статистической независимости источников шума.

Обычно предполагают, что:

1) любые 2 источника шума создают некоррелируемые шумы;

2) шум от каждого источника некоррелирован с входным сигналом x (n).

Задача заключается в оценке дисперсии суммарного шума на выходе цифровой цепи.

Если число источников k, то

где – составляющая собственного шума на выходе цифровой цепи, обусловленная i -ым источником шума.

Известно, что дисперсия i -ой составляющей входного шума определяется следующим образом:

где h_i (n) – реакция на выходе цифровой цепи от i -го источника шума.

Шумовая модель цифрового фильтра первого порядка

Рис. 4.7. Шумовая модель цифрового фильтра первого порядка.

Шумовая модель цифрового фильтра второго порядка

Рис. 4.8. Шумовая модель цифрового фильтра второго порядка.

Отметим, что в соответствии с выражением (4.2) при оценке дисперсии выходного шума приходится суммировать бесконечный ряд значений. Обычно для отсчётов h (n) не всегда удаётся найти аналитическое выражение, но ещё труднее найти их бесконечную сумму. Поэтому для вычисления суммы бесконечного ряда часто используют теорему Парсеваля.

где H_i (z) – передаточная функция от i -го источника к выходу цифровой цепи.

Интеграл (4.3) можно вычислить путём интегрирования вдоль единичной окружности и используя теорему Коши о вычетах.

Для цифрового звена фильтра второго порядка:

где H₁ (z), H₂ (z) – соответствующая передаточная функция.

При этом полюсы принимают следующий вид:

Тогда

Таким образом для вычисления интеграла (4.3) необходимо найти значения вычетов

Полюсы H₁ (z) и H₂ (z):

Полюсы H₁ (Z-¹) и H₂ (Z-¹):

В результате получим выше записанное выражение.

4.3. Ограничение динамического диапазона в системах с фиксированной точкой

Источником больших ошибок, приводящих к потере работоспособности цифровой системы, является переполнение разрядности сетки, что характерно для устройств с фиксированной точкой. Чтобы предотвратить переполнение нужно использовать режим насыщения, либо ввести масштабирующие множители в определённых точках цифрового фильтра так, чтобы не возникало переполнения и в то же время достигалось максимально возможное соотношение сигнала на выходе цепи к шуму округления (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Режим насыщения.

Теоретические основы методики эффективного масштабирования были предложены американским специалистом Джексоном. В соответствии с моделью Джексона структура цифрового фильтра, учитывающая влияние шумов, может быть представлена в виде следующей модели (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Шумовая модель Джексона.

В рамках данной шумовой модели умножители и элементы задержки представляются ветвями графа, а его узлы соответствуют либо сумматорам (узлы суммирования), либо точкам разветвления (узлы разветвления). Сигнал, выходящий из i -го узла разветвления, обозначим как V_i (n), а ошибку округления в j -ом узле через e_j (n). Последовательности h (n), f_i (n) являются импульсными характеристиками всего фильтра и части фильтра, при условии, что выходной сигнал снимается с i -го узла разветвления. Последовательности g_j (n) являются реакцией на входах узлов суммирования. Функции H^* (z), G_j (z), F_i (z) – соответствующие передаточные функции.

Пример: Каноническая форма построения БИХ-фильтра третьего порядка (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Шумовая модель канонической формы построения БИХ-фильтра третьего порядка.

Задача состоит в том, чтобы с помощью приведённой модели найти масштабирующий множитель k, гарантирующий отсутствие переполнения в любом из узлов суммирования | V_i (n)|≤1, и в то же время, позволяющий минимизировать дисперсию шумов округления на выходе фильтров.

Если предположить, что к любому j -ому узлу суммирования подключается k_j источников округления (k ₁=3, k ₂=4), и каждый из них создаёт белый шум с дисперсией источника, то согласно предположению о некоррелированности шумов источников суммарный шум будет также дискретным белым и иметь дисперсию.

Дисперсию собственного шума на выходе цепи можно определить, используя известный математический аппарат линейных систем:

Если в фильтре предусмотрено масштабирование переменных, то приведённая ниже формула принимает следующий вид:

При масштабировании k’_j ≥ k_j, т.к. введение масштабирования вносит дополнительный шум.

Если предположить | x (n)|≤1, то нетрудно найти соответствующие масштабирующие множители, гарантирующие выполнение условия | V_i (n)|≤1. Действительно, если известна импульсная характеристика от входа до i -го узла разветвления, то

Поэтому, если | x (n-m)|≤1, то

Таким образом, для выполнения исходного неравенства достаточно, чтобы промасштабированная последовательность отличалась следующим условием:

На практике выражение (4.5) обычно не применяют, т.к. оно даёт слишком большой запас по коэффициенту масштабирования, что значительно уменьшает ОСШ на выходе. К тому же найти сумму из выражения (4.5) достаточно трудоёмко, поэтому обычно используют масштабирование, предполагающее ограничения энергии или спектра сигнала. Если предположить, что входной сигнал x (n) – детерминированный, то переменную V_i (n) можно найти с помощью обратного БПФ от произведения ПФ входного сигнала x (n) и импульсной характеристики f_i (n), а именно

При этом, если || X (jω)||_∞≤1, то согласно уравнению (4.6)

Аналогично, если выполняются условие || F (jω)||_∞≤1, т.е. передаточная функция ограничена по амплитуде, то спектр сигнала должен отвечать ограничению вида:

Например, если проектируется цифровой фильтр с частотной характеристикой, принимающей в полосе пропускания единичное значение, то спектр входного сигнала отвечает ограничению (4.8), и масштабирующий множитель принимает следующее значение:

В рассмотренных выше случаях предполагалось, что входной сигнал x (n) детерминирован. Если x (n) и V_i (n) являются случайными процессами, то вместо самих сигналов при анализе собственных шумов обычно используют их АКФ:. А в качестве функции передачи следует использовать их среднеквадратическое отклонение. В этом случае при вычислении нормирующего множителя используют выражение вида:

где а R_XX (jω) – спектральная плотность мощности входного сигнала.

4.4. Квантование коэффициентов

В результате квантования коэффициентов частотная характеристика реального фильтра всегда отличается от расчётной. Встаёт проблема оценки отклонения. Существует 2 подхода к анализу и синтезу с конечной разрядностью коэффициентов.

В первом из них погрешности представления коэффициентов рассматриваются как случайные величины. При этом влияние квантования коэффициентов учитываются введением некоторых параметров паразитного фильтра, включённого параллельно идеальному фильтру. В этом случае, сделав предположения относительно погрешности коэффициентов, можно оценить СКО частотной характеристики реального фильтра от частотной характеристики идеального фильтра.

При использовании второго подхода вопрос о влиянии квантования решается отдельно для каждого фильтра, исходя из детерминированного подхода. При этом, используя методы целочисленного программирования, ставится задача поиска оптимальных квантованных коэффициентов.

Рассмотрим первый подход (статистический).

Пусть реальный цифровой фильтр с квантованными коэффициентами имеет передаточную функцию вида:

где b₀ =1;

a_k, b_k – ошибки квантования:

– неквантованные коэффициенты;

– случайные независимые величины с независимым распределением.

Если обозначить через x (n) входной сигнал, а через y’ (n) сигнал на выходе идеального фильтра, то ошибку на выходе e (n) можно записать в следующем виде:

Отсюда, пренебрегая произведением малых величин (четвёртая сумма в произведении), окончательно получим:

Представим выражение (4.11) в следующем виде:

Взяв Z- преобразование от левой и правой части, получим:

где

– знаменатель передаточной функции идеального фильтра.

Подставив в (4.12) выражение вида (Y (z) – Z- образ выходного сигнала идеального фильтра, H_∞ (z) – передаточная функция идеального фильтра), получим:

Таким образом, в соответствии с выражением (4.13) модель цифровой цепи, учитывающая шум квантования коэффициентов, может быть представлена в следующем виде (рис. 4.12):

Рис. 4.12. Модель цифровой цепи, учитывающая шум квантования коэффициентов.

Обычно для оценки влияния шума квантования коэффициентов рассчитывают СКО частотной характеристики реального фильтра от идеального фильтра.

Отметим, что одним из эффективных методов оценки СКО является использование приведённой выше шумовой модели.

4.5. Колебания предельных циклов

Предположение о том, что разность между соседними отсчётами сигнала велика по сравнению с шагом квантования не всегда верно. Например, сигнал может быть постоянным.

Пример:

Предположим, что начальные условия: y (-1)=13; шаг квантования равен 1; x (n)=0. Тогда выход фильтра будет иметь следующие значения:

n	y (n) – точные	y' (n) – неточные
-1	13,0
	12,35
	11,7325
	11,142875
	10,58858125
	10,05915219

При точном вычислении y (n) имеет плавно меняющийся экспоненциальный характер, y' (n) снижается до 10 и зацикливается.

При исследовании предельных циклов в цепях первого и второго порядков используют понятие эффективных значений коэффициентов фильтра. Считается, что предельный цикл возникает только тогда, когда округление фактически приводит к появлению полюсов на единичной окружности.

Если x (n)=0 при n≥ 0, то мёртвой зоной, в которой могут существовать предельные циклы, является интервал [- k, k ]. Причём k равняется наибольшему целому числу, удовлетворяющему неравенству вида:

При α =±1 полюс цепи принимает значение z =±1, что и соответствует генерации предельного цикла.

5. Введение в теорию двумерных цифровых цепей

5.1. Двумерные сигналы и цепи

Пусть x (n ₁ ,n ₂) – это двумерная последовательность, где n ₁, n ₂ – целые числа. Обозначение x (n ₁ ,n ₂) это есть:

Графически представить двумерную последовательность на плоскости можно, задавшись высотой отрезка x (n ₁ ,n ₂) для всех n ₁, n ₂ (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Графическое изображение двумерной последовательности на плоскости.

К наиболее важным двумерным последовательностям относятся:

1. Единичный импульс

2. Единичный сигнал

3. Экспоненциальная функция

4. Комплексная синусоида

Основная теорема о свёртке для двумерных цепей.

Пусть h (n ₁ ,n ₂) – импульсная характеристика двумерной цифровой цепи, тогда вход x (n ₁ ,n ₂) и выход y (n ₁ ,n ₂) связаны друг с другом свёрткой вида:

Двумерная цифровая цепь является физически реализуемой, если при всех отрицательных значениях n ₁ и n ₂ её импульсная характеристика принимает нулевые значения:

Двумерная цифровая цепь является устойчивой тогда и только тогда, когда её импульсная характеристика удовлетворяет условию вида:

Цепь называется разделимой, если её импульсная характеристика может быть представлена в виде произведения двух одномерных последовательностей.

В противном случае цифровую цепь называют неразделимой.

Достоинство разделимых цифровых цепей: для них двумерную свёртку (5.1) можно вычислить путём последовательного вычисления одномерных свёрток.

где a (n ₁ -m ₁ ,n ₂) – последовательность одномерных свёрток для фиксированного значения m₁.

В соответствии с (5.3) выходную последовательность можно получить, двукратно выполняя операцию одномерной свёртки. Если разделимыми являются как h (n ₁ ,n ₂), так и входная последовательность x (n ₁ ,n ₂), то и выходная последовательность y (n ₁ ,n ₂) тоже будет разделимой.

Как и в одномерном случае, двумерную цифровую цепь можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами в следующей форме:

Принимая значение коэффициентов a _0,0=1, получим:

где m ₁, m ₂≠0 одновременно.

Пример:

Если на вход данной цепи поступает единичный импульс, то при нулевых начальных условиях реакция на выходе цепи будет иметь следующий вид:

Двумерное Z -преобразование

Пусть x (n ₁ ,n ₂) – двумерная последовательность, тогда преобразование вида

называют двумерным Z -преобразованием.

Обратное Z -преобразование определяется следующим образом:

Частотную характеристику двумерной цифровой цепи можно вычислить по её импульсной характеристике, используя Z -преобразование, с учётом того, что

Имеет место обратный переход, т.е. по заданной комплексной частотной характеристике можно определить исходную импульсную характеристику

Частотная характеристика (5.8) обладает свойством периодичности по обеим осям.

где l и m – целые числа, а также при условии, что ω ₁ и ω ₂ – приведённые частоты.

Отметим, что если отсчёты импульсной характеристики принимают только действительные значения, то частотная характеристика будет удовлетворять следующему условию:

Это означает, что поведение частотной характеристики в первом квадранте (0≤ ω ₁≤ π,0≤ ω ₂≤ π) полностью определяет её поведение в третьем квадранте, и наоборот.

Пример 1:

Найти коэффициенты Фурье (импульсную характеристику h (n ₁ ,n ₂)) для цифрового фильтра с частотной характеристикой, представленной на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Пример частотной характеристики фильтра.

Будем считать, что заштрихованный прямоугольник определяет полосу пропускания фильтра.

Фактически это модель идеального двумерного НЧ фильтра.

Решение: Согласно выражению (5.9) находим, что

Т.о. импульсная характеристика идеального двумерного НЧ-фильтра, определённого на некотором прямоугольнике, может быть представлена как произведение двух независимых функций типа sin(x)/ x. Такая цепь является разделимой.

Пример 2:

Найти коэффициенты Фурье (импульсную характеристику h (n ₁ ,n ₂)) для идеального НЧ-фильтра, заданного над кругом радиуса R (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Пример частотной характеристики фильтра.

Решение: Заметим, что круговая функция H (jω ₁ ,jω ₂) обладает круговой симметрией, т.е. считаем, что эта функция зависит от радиуса.

Можно показать, что коэффициенты Фурье, т.е. импульсная характеристика, также обладает круговой симметрией.

Следовательно, h (n ₁ ,n ₂) можно найти, предварительно вычислив функцию h (n ₁) при n ₂=0 и, заменив, получить искомую импульсную характеристику h (n ₁ ,n ₂).

Используя подстановку вида ω ₁=R^.sin(φ), с учётом того, что dω ₁= R ^.cos(φ) dφ, получим, что:

где J ₁(x) – функция Бесселя первого порядка.

Изменилась область полосы пропускания, фильтр стал неразделимым.

Z -преобразование свёртки последовательностей

Если последовательность y (n ₁ ,n ₂) является двумерной свёрткой последовательности x (n ₁ ,n ₂) и импульсной характеристики h (n ₁ ,n ₂),

то её Z -преобразование y (n ₁ ,n ₂) равно произведению Z -образов сворачиваемых последовательностей

Двумерное ДПФ

Если условно представить, что ограниченный по длительности сигнал x (n ₁ ,n ₂) является периодическим

где m ₁, m ₂ – целые числа, N ₁, N ₂ – периоды повторения по координатам n ₁, n ₂, тогда будет иметь место представление вида:

где – коэффициенты Фурье или Фурье-образ периодического сигнала. Очевидно, это не что иное, как обратное ДПФ.

Значения коэффициентов Фурье можно вычислить, используя двумерное Z -преобразование на одном периоде последовательности на частотах Таким образом

Соотношение (5.11) называют двумерным ДПФ, а (5.10) – двумерным обратным ДПФ. Одно из важных свойств двумерных ДПФ связано с возможностью их вычисления с помощью последовательности одномерных ДПФ. Переписав выражение (5.11) в виде

отметим, что при изменении n ₁ от нуля до N ₁-1 суммы в квадратных скобках образуют N ₁ одномерных N ₂-точечных ДПФ. Кроме того, обозначив результат каждого из одномерных N ₂-точечных ДПФ через некоторую функцию g (n ₁, k ₂), полученное соотношение (5.12) перепишем в следующем виде.

где

Соотношение (5.13) представляет собой N ₂ одномерных N ₁-точечных ДПФ. Отметим, что, как и для одномерных сигналов, прямое и обратное ДПФ по алгоритму БПФ является эффективным способом реализации быстрой свёртки.

5.2. Двумерный БИХ-фильтр

Передаточная функция двумерного фильтра определяется выражением вида:

где a_{i , j} и b_{i , j} – коэффициенты, определяющие все свойства.

Если b _0,0=1, то, согласно выражению (5.14), вход и выход цифровой цепи связаны выражением вида:

где i и j ≠ 0 одновременно.

При проектировании БИХ-фильтра необходимо выбрать коэффициенты a_{i , j} и b_{i , j} таким образом, чтобы воспроизвести (аппроксимировать) заданную частотную характеристику с требуемой точностью, при этом фильтр должен быть устойчивым. Это связано с большими трудностями. Если для одномерных БИХ-фильтров многочлены в числителе и знаменателе передаточной функции могли быть представлены в виде произведения многочленов более низких порядков (1-го и 2-го), то для двумерных цепей это свойство не выполняется. Поэтому, как правило, невозможно проверить устойчивость БИХ-фильтров простым способом. Из этого следует, что из неустойчивого фильтра нельзя сделать устойчивый, включив последовательно с ним всепропускающий фильтр. Кроме того, нельзя построить двумерный БИХ-фильтр путём последовательного соединения фильтров более низких порядков.

Устойчивость БИХ-фильтров

1. Теорема Шенкса (Первая теорема устойчивости).

Физически реализуемый БИХ-фильтр с передаточной функцией вида

устойчив тогда и только тогда, когда знаменатель не равен 0 (B (z ₁ ,z ₂)≠0) при любых z ₁ и z ₂, для которых | z ₁|≥1 и | z ₂|≥1.

Доказательство основано на том, что если выполняется данное условие, то

Вместе с тем применение данной теоремы сопряжено с трудностями. Для проверки устойчивости необходимо единичный круг из области z ₁ (d ₁= z ₁:| z ₁|≤1) отобразить на плоскость z ₂, решив неявное уравнение относительно переменной z ₂. При этом фильтр будет устойчив тогда и только тогда, когда отображение z ₁ на плоскость z ₂ не пересекается с единичным кругом на плоскости z ₂.

2. Вторая теорема устойчивости

Физически реализуемый БИХ-фильтр, имеющий передаточную функцию вида

устойчив тогда и только тогда, когда:

1) отображение области d ₁= z ₁:| z ₁|≤1 на плоскость z ₂ согласно уравнению B (z ₁ ,z ₂)=0 целиком лежит в области d ₂= z ₂:| z ₂|≥1;

2) соотношение B (z ₁ ,z ₂)=0 не отображает ни одной точки из области d ₁= z ₁:| z ₁|≥1 в точку z ₂=0.

Согласно данной теореме, достаточно рассмотреть условие вида B (ẑ ₁, z ₂)=0 только на окружности | ẑ ₁|=1 и, кроме того, решить уравнение B (z ₁,0)=0, чтобы определить имеет ли оно корни с модулем, превышающим 1.

Однако самым сложным остаётся вопрос, как найти коэффициенты БИХ-фильтра с заданной частотной характеристикой, отвечающих критерию устойчивости, и каким образом превратить неустойчивый фильтр в устойчивый. Поэтому на практике применяются двумерные КИХ-фильтры.

5.3. Двумерный КИХ-фильтр

Вход x (n ₁ ,n ₂) и выход y (n ₁ ,n ₂) связаны выражением

где h (m ₁, m ₂) – импульсная характеристика, принимающая отличные от нуля значения в пределах 0≤ n ₁≤ N ₁-1, 0≤ n ₂≤ N ₂-1. При этом многие методы проектирования одномерных КИХ-фильтров легко обращаются в двумерный случай, внеся соответствующие изменения и допущения. Это постановка задач аппроксимации частотных характеристик на двумерной плоскости, реализация основного метода частотной выборки и быстрая свёртка на основе двойного БПФ.

Расчёт двумерных КИХ-фильтров

с применением весовых функций (окон)

Пусть H (jω ₁ ,jω ₂) – желаемая частотная характеристика двумерного фильтра, тогда импульсную характеристику h (n ₁ ,n ₂) можно вычислить, используя обратное двумерное преобразование Фурье.

При этом, если желаемая частотная характеристика имеет разрывы, то импульсная характеристика (5.17) будет бесконечной по длительности. С тем, чтобы её ограничить по длительности и вместе с тем улучшить сходимость усечённого таким образом ряда Фурье в точках разрыва, умножим импульсную характеристику идеального фильтра на весовую функцию W (n ₁ ,n ₂) конечной длины. При этом аппроксимация частотной характеристики H ^*(jω ₁ ,jω ₂) будет иметь следующий вид:

Нетрудно показать, что характеристики H (jω ₁ ,jω ₂) и H ^*(jω ₁ ,jω ₂) связаны друг с другом операцией свёртки в двумерной частотной области.

где

Расчёт фильтра методом весовых функций сводится в выбору такой весовой функции W (n ₁ ,n ₂), что её преобразование Фурье обладает следующими свойствами:

1) Преобразование должно быть близким к функциям с круговой симметрией.

2) Объём поверхности под главным лепестком должен быть большим.

3) Объём поверхности под боковыми лепестками должен быть небольшим.

Было показано, что достаточно хорошие двумерные весовые функции, удовлетворяющие этим свойствам, можно реализовать из соответствующих одномерных весовых функций с помощью формулы вида:

где W ^*(n) – это подходящее одномерное окно. Т.е. можно найти двумерную аппроксимацию окон Хэмминга, Кайзера, и др., обладающих в этом случае круговой симметрией.

Расчёт оптимального (в минимаксном смысле)

двумерного фильтра

Двумерные КИХ-фильтры, как и одномерные, можно рассчитать так, чтобы они были оптимальными по Чебышеву. В этом случае все отсчёты импульсной характеристики h (n ₁ ,n ₂) считаются неизвестными и рассчитываются с помощью методики оптимизации.

Отметим, что другие методы, обычно используемые при расчёте одномерных фильтров, здесь оказываются неприемлемыми, т.к. обобщённую теорему Чебышева, известную при решении задач оптимизации одномерных фильтров использовать для двумерного случая нельзя. Прямой расчёт оптимальных двумерных фильтров осложняется тем, что число переменных и количество ограничений, накладываемых на них, весьма велико.

Для расчёта (9*9) могут потребоваться тысячи ограничений и до 21 переменной.

Реализация КИХ-фильтров с помощью ДПФ

Пусть y (n ₁ ,n ₂)= x (n ₁ ,n ₂)** h (n ₁ ,n ₂) – свёртка входной последовательности и импульсной характеристики двумерного фильтра. Выполнив преобразование Фурье левой и правой части, получим

В общем случае имеется много возможных определений двумерного ДПФ, соответствующих множеству форм растродискретизации двумерного спектра Фурье. Все эти ДПФ можно использовать для вычисления свёртки, если только принятые для них опорные области включают в себя опорную область y (n ₁ ,n ₂).

Примем для определённости, что дискретизация выходного спектра Y (jω ₁ ,jω ₂) выполнена по прямому растру объёмом N₁ * N₂ отсчётов, и пусть

Тогда

Будем считать, что последовательность является результатом обратного преобразования Фурье от произведения дискретных спектров X (k ₁ ,k ₂)^. H (k ₁ ,k ₂). Фактически представляет собой результат циклической свёртки входной последовательности x (n ₁ ,n ₂) и импульсной характеристики h (n ₁ ,n ₂), заданных на интервалах 0≤ n ₁≤ N ₁-1, 0≤ n ₂≤ N ₂-1.

Если N ₁ и N ₂ выбраны достаточно большими, то, как и требуется,.

Отметим, что для выполнения N ₁* N ₂-точечного двумерного ДПФ последовательности x (n ₁ ,n ₂) и h (n ₁ ,n ₂) должны быть расширены и дополнены отсчётами с нулевыми значениями. При этом использование алгоритма двойного БПФ для прямого и обратного преобразования позволяет многократно уменьшить вычислительные затраты при соответствующем увеличении памяти данных. При этом для перехода от циклической свёртки к линейной используется секционирование на двумерные секции размерностью L ₁* L ₂, где L ₁ L ₂<< N ₁ N ₂.

Дата добавления: 2014-01-04