КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Диагональная форма матрицы оператора
Наиболее простой вид матрица линейного оператора имеет, когда базисом является система ее собственных векторов, т.е. все ее собственных значений различны. В этом случае , при и , т.е. матрица является диагональной: . Следовательно, для того чтобы привести матрицу оператора к диагональному виду согласно формуле , в качестве матрицы нужно взять матрицу, столбцами которой должны быть собственные векторы оператора . Пример. Привести к диагональному виду матрицу . Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид: , откуда , , . Найдем собственные векторы, подставляя найденные собственные значения в матричное уравнение . Для получаем , отсюда . Полагая произвольной константой, получаем собственный вектор . Подстановка второго собственного значения приводит к уравнению , Откуда , полагая получаем второй собственный вектор матрицы : . Поскольку и - произвольные числа, одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины. Поскольку собственные значения этой матрицы , подобная ей диагональная матрица имеет вид: Проверим это по формуле . Составим матрицу , столбцами которой являются собственные векторы: . Найдем определитель матрицы , а обратная матрица имеет вид: По формуле получаем: .
4.6. Квадратичные формы.
4.6.1. Основные сведения о квадратичных формах. Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом: (50) Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем . Будем называть симметрическую матрицу (51) матрицей квадратичной формы (50). Квадратичная форма (50) может быть представлена в матричной форме:
(52)
где и - вектор-строка и вектор-столбец переменных. В самом деле
. Пример. Дана квадратичная форма . Записать ее в матричном виде. Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет следующий вид: на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, а симметричные относительно нее недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов перекрестных произведений переменных данной квадратичной формы. Следовательно:
4.6.2. Преобразование квадратичных форм. Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных. Пусть векторы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением
где , есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма . Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид (53)
Пример. Для квадратичной формы предыдущего примера найти квадратичную форму, полученную из данной линейным преобразованием , , . Решение. Матрица данного линейного преобразования имеет вид: . Применяя формулу (53) к матрице из предыдущего примера получаем: , т.е. квадратичная форма принимает вид: .
4.6.3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Определение. Квадратичная форма называется канонической или имеет канонический вид, если все ее коэффициенты при : (54) т.е. матрица является диагональной.
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Определение. Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее каноническом виде все коэффициенты равны 1 или -1.
Существуют различные методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один из них Метод Лагранжа. Заключается в выделении полных квадратов: сначала формируется полный квадрат из слагаемых, содержащих , затем из слагаемых, содержащих и т.д. Рассмотрим это на конкретном примере.
Пример. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму
Решение. Применяя метод Лагранжа, получаем:
. где , , . При приведении к нормальному виду в этой квадратичной форме нужно использовать замену переменных , , . Тогда получаем:
Теорема. (Закон инерции квадратичных форм). При любом способе приведения квадратичной формы (50) с действительными коэффициентами к нормальному виду число квадратов с коэффициентами 1 получается одно и то же, как и число квадратов с коэффициентами -1.
4.6.4. Критерий знакоопределенности квадратичной формы. Определение. Квадратичная форма (50) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных , не равных одновременно нулю, указанная форма имеет положительные (отрицательные) значения. Оба этих случая объединены под названием знакоопределенных форм. Если квадратичная форма (50) как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной. Квадратичная форма от переменных является положительно определенной, тогда и только тогда, если ее нормальный вид содержит ровно квадратов, т.е. имеет вид . Понятно, что все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть положительными. Аналогично в нормальный вид отрицательно определенной все квадратов должны входить со знаком минус, т.е. все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть отрицательными. Миноры , , ,…, (55) называются главными минорами матрицы квадратичной формы (50).
Теорема. (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма (50) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия (56) Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем .
Пример. Найти по критерию Сильвестра знакоопределенность квадратичной формы .
Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид:
.
Последовательно вычисляем ее миноры
, , .
Поскольку критерий Сильвестра не соблюден, то данная квадратичная форма является знакопеременной.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 13402; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |