Аффинные пространства

Определение 3.8.1. Аффинное пространство — это множество A элементов произвольной природы, называемых точками, которому сопоставлены:

1) линеал L, называемый присоединенным к A;

2) соответствие, по которому любым двум точкам A, B Î A отвечает некоторый элемент AB Î L с началом в A и с концом в B;

При этом выполняются следующие две аксиомы:

10^°. Для произвольной точки А Î A и любого вектора u Î L существует единственная точка B Î A такая, что АВ = u.

11^°. Для произвольных трех точек А, В, С имеет место равенство АВ + ВС = АС.

Размерность аффинного пространства A совпадает с размерностью присоединенного с A линеала L и обозначается символом dim(A). Если dim(A) = n, то аффинное пространство называют n ‑мерным и используют обозначение A ⁿ.

Приведем примеры аффинных пространств.

Рассмотрим трехмерное линейное пространство V 3. Фиксируем некоторую точку О и будем рассматривать всевозможные радиус-векторы с началом в точке О (рис. 3.8.1). Под точками аффинного пространства A 3 с присоединенным линеалом V 3, будем понимать концы соответствующих радиус-векторов, причем двум точкам А и В сопоставляется вектор . Заметим, что при такой формализации мы отождествляем точку А с радиусом-вектором .

Любое линейное пространство L можно рассматривать как аффинное пространство. Для этого достаточно векторы из L назвать точками аффинного пространства и любой паре векторов a и b сопоставить вектор ab = b – a Î L.

Дата добавления: 2014-01-05