Свойства определителя

1. Произведение , где и перестановки последовательности входит в определитель со знаком

, . (2.4.2)

Доказательство. Для того чтобы воспользоваться определением (2.4.1) необходимо расположить сомножители в порядке возрастания номеров строк, а затем подсчитать число инверсий в перестановке, определяемой номерами столбцов. Однако при перестановке сомножителей происходит транспозиция, как в первой, так и во второй перестановке. При этом в каждой перестановке число инверсий изменяется на нечетное число, поэтому суммарное изменение числа инверсий будет четным. Следовательно,

,

т. е. знак произведения определяется в соответствии с (2.4.2).

2. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

Доказательство. Брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы эквивалентно тем же действиям с транспонированной матрицей. Каждое произведение в определителе исходной матрицы в соответствии с (2.4.2) имеет знак, совпадающий со знаком соответствующего произведения в определителе транспонированной матрицы.

Таким образом, в определителе строки и столбцы равноправны. Следовательно, все свойства определителя справедливые для его строк, справедливы и для его столбцов.

3. Если хотя бы одна из строк определителя является нулевой, то определитель равен нулю.

Доказательство. В каждом произведении определителя в качестве сомножителя обязательно присутствует элемент из указанной нулевой строки, поэтому .

4. Если элементы некоторой строки определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме двух определителей, в первом из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а во втором — вторые.

Доказательство. Пусть строка

,

где . Тогда

.

Таким образом,

.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и то же число, то это эквивалентно умножению определителя на данное число.

Доказательство. Пусть элементы строки определителя матрицы А умножены на число g. Тогда

.

6. При перестановке местами двух строк определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть

.

Если в определителе поменять k- ю и l -ю строки местами, то получаем

.

Воспользуемся определением (2.4.1), получаем

.

В определитель произведение входит со знаком , поскольку , а в определитель — со знаком . Указанные знаки, очевидно, противоположны, так как в силу следствия 2.3.2 число инверсий в перестановке на единицу отличается от числа инверсий в перестановке , т. е. = –.

7. Определитель, в котором совпадают две строки, равен нулю.

Доказательство. Если поменять местами совпадающие строки, то определитель должен поменять знак. Но тогда, очевидно, = –, т. е. = 0.

8. Определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю.

Доказательство. Допустим, например, что первая строка определителя пропорциональна второй. Тогда

.

9. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, предварительно умноженной на произвольное число.

Доказательство. Действительно,

.

Но , поэтому

.

Дата добавления: 2014-01-05