Ортогональные матрицы

Определение 2.10.1. Квадратная матрица с вещественными элементами называется ортогональной, если ее обратная матрица совпадает с транспонированной, т. е. .

Возьмем произвольную квадратную матрицу . Соответствующая транспонированная матрица , причем по определению .

Вычислим произведение

.

Поскольку является ортогональной матрицей, то . Сравнивая поэлементно матрицы и , получаем, что если , то = 0, а в случае , имеем .

Таким образом, у ортогональной матрицы сумма квадратов элементов одной строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк равна нулю.

Если — i -я строка матрицы , то условие можно представить в виде

Определение 2.10.2. Строка матрицы называется нормированной, если .

Определение 2.10.3. Две строки матрицы называются ортогональными, если .

Таким образом, у ортогональной матрицы все строки нормированные и попарно ортогональные между собой.

По определению ортогональной матрицы , следовательно, . Поэтому, если — i -й столбец матрицы , , то

Таким образом, у ортогональной матрицы все столбцы нормированные и попарно ортогональные между собой.

Очевидно, что если матрица ортогональная, то и транспонированная матрица также является ортогональной матрицей. Простейшим примером ортогональной матрицы служит единичная матрица , так как .

Теорема 2.10.1. Пусть , , — ортогональные матрицы. Тогда ортогональными матрицами являются обратная матрица и произведение . Кроме того, квадрат определителя любой ортогональной матрицы равен единице.

Доказательство. Пусть матрица — ортогональная, следовательно, матрица — ортогональная, но по определению ортогональной матрицы , поэтому — ортогональная.

Произведение

,

поэтому — ортогональная матрица.

По определению ортогональной матрицы

.

Дата добавления: 2014-01-05