КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные операции над векторамиВектором называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является начальной и какая — конечной. Начальную точку называют началом (точкой приложения) вектора, а конечную — концом вектора. Под направлением вектора понимают направление от его начала к концу. Направление отмечается стрелкой, помещаемой у конца вектора (рис. 3.1.1). Длина или модуль вектора есть длина соответствующего отрезка, определяющего данный вектор. Вектор с началом А и концом В обозначают символом . Иногда вектор обозначают одной буквой со стрелкой, помещенной сверху этой буквы, например, (рис. 3.1.1). Длину вектора обозначают соответственно как | |, || и т. д. Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор обозначают обычно символом . Нулевой вектор не имеет определенного направления (направление произвольно) и его длина равна нулю: || = 0. Вектор называют единичным, если его длина равна единице в принятой системе измерения (рис. 3.1.2). Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Векторы коллинеарны, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 3.1.3). Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если для любых точек M и N, выбранных на лучах, определенных этими векторами, при условии, что , расстояние не меняется (рис. 3.1.4). Для сонаправленных векторов будем использовать обозначение . Два коллинеарных, но не сонаправленных вектора, называются противоположно направленными (обозначение ). Теорема 3.1.1. Два вектора, сонаправленных с третьим, сонаправлены друг с другом: , . Доказательство. Очевидно, что и коллинеарны. Так как , то для любых точек M и P таких, что расстояние не меняется. Поскольку , то для любых точек N и P таких, что расстояние не меняется. Но тогда и расстояние не меняется. Поэтому . Ортом ненулевого вектора называют вектор : . Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину (векторы и , рис. 3.1.3). Для равных векторов и используют обозначение . Векторы противоположны, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину (векторы и , рис. 3.1.3). Для противоположных векторов и используют обозначение . Ясно, что если (коммутативность), (транзитивность). Заметим, что равенство векторов определено с точностью до их положения в пространстве. Иными словами, мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. В дальнейшем будем рассматривать свободные векторы, т. е. векторы, точки приложения которых произвольны. Говорят, что векторы следуют друг за другом, если начало каждого из них, начиная со второго, совпадает с концом предыдущего вектора (рис. 3.1.5). Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. На рис. 3.1.6 представлена сумма Суммой произвольно расположенных векторов называется сумма векторов, следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки О, и равных соответственно данным векторам (рис. 3.1.7).
Сумма произвольно расположенных векторов не зависит от того, как выбрана начальная точка О при построении векторов, следующих друг за другом. Сумма векторов определяется однозначно и обладает очевидными свойствами: 1.(коммутативность). 2. () +=+ ()(ассоциативность). 3. (особая роль нулевого вектора). 4. : (существование противоположного вектора). Разностью векторов и называют такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : +=(рис. 3.1.8). Разность векторов обозначается =. Произведением вектора на вещественное число a называется вектор : 1. ; 2. Если a = 0 или , то вектор =. Если — орт вектора , то , откуда . Произведение вектора на число определяется однозначно и обладает следующими свойствами: 1) (ассоциативность); 2) (дистрибутивность относительно суммы чисел); 3) (дистрибутивность суммы векторов); 4) 1(наличие единицы). Рассмотренные операции (сложение векторов и умножение вектора на вещественное число) называются линейными операциями над векторами. Теорема 3.1.2. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое число a ¹ 0, что вектор . Доказательство. Достаточность. Непосредственно следует из определения произведения вектора на число. Необходимость. Рассмотрим векторы и , где По построению a векторы , = .
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 384; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |