Понятие устойчивости систем управления

Методы анализа систем управления

Если под влиянием возмущения состояние системы управления отклонилась от состояния равновесия или заданного закона движения, а после прекращения действия внешнего возмущения снова вернулась к исходному состоянию, то такое движение является устойчивым, сходящимся к исходному. Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову. Пусть имеем уравнение динамики:

Его можно переписать с использованием фазовых координат:

.

,

- фазовые координаты, характеризующие состояние системы. Представленное уравнение в фазовых координатах описывает невозмущенное движение. Полагаем, что фазовые координаты в начальный момент времени t = t_o имеют значения: x₁ = j₁ (t₀), x₂ = j₂ (t₀),..., x_n = j_n (t₀).

Решение дифференциального уравнения определяется введенными начальными условиями. Оно может быть записано в виде

x_i = j _i [t, j _i (t_o)].

Пусть под действием возмущения начальные значения координат изменились и приняли значения:

j _i^*(t_o) = j _i (t_o) + e_i .

Характер процессов, происходящих в системе, будет описываться уравнениями вида:

x_i^* = j _i^*[t, j _i^* (t_o)].

Последнее уравнение описывает возмущенное движение. Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений возмущенное движение в момент времени t > t₀ будет отличаться от невозмущенного движения незначительно. Другими словами, движение, определяемое решением , будет устойчивым по Ляпунову, если для любого e > 0 можно подобрать s (e) > 0, чтобы при t > t_0,

| j _i^*(t_o) - j _i (t_o) | < s (e)

выполнялось условие:

| j _i^*(t) - j _i (t) | £ e.

Если условие не выполняется, то движение неустойчиво. Движение считается асимптотически устойчивым, если

lim | j _i^*(t) - j _i (t) | = 0, t®¥.

Отметим, что линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, то есть является ее приближенной моделью, и возникает вопрос – правомерно ли переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную систему, когда и в какой мере это справедливо. А.М. Ляпуновым был доказан ряд теорем, отвечающий на поставленный вопрос.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения являются отрицательными, то невозмущенное движение в исходной нелинейной системе асимптотически устойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.

В тех случаях, когда в характеристическом уравнении есть нулевые или чисто мнимые корни, а все остальные корни имеют отрицательные действительные части, судить об устойчивости движения по уравнению первого приближения нельзя. В таком случае для оценки устойчивости необходимо учитывать отброшенные при линеаризации нелинейные слагаемые.

Характеристическое уравнение системы управления, исследуемой в комплексной области, представляется выражением:

d_nsⁿ + d_n-1s ^n-1+... + d_o = 0.

Если система управления исследуется в области фазовых координат, то характеристическое уравнение рассматривается в виде:

det [l E - A] = 0,

где A – матрица коэффициентов уравнений в фазовых координатах; E - единичная матрица; l - переменная характеристического уравнения.

Дата добавления: 2014-01-05