Расчет и анализ чувствительности

Инвариантные системы управления

Вариации параметров системы управления, вызванные внешними возмущающими воздействиями или возмущающими факторами, действующими внутри системы управления, способствуют появлению дополнительного движения, которое при неконтролируемых изменениях параметров обычно является нежелательным. В связи с этим возникает проблема синтеза таких систем управления, которые были бы способны компенсировать нежелательные параметрические возмущающие воздействия.

В качестве математической модели многомерной системы управления будем рассматривать передаточную матрицу W(x,h,s), где х- вектор настраиваемых параметров управляющей части, h – вектор неконтролируемых параметров. Задачей современного развития теории инвариантности является исследование в области многомерных и сложных систем управления, нелинейных, с переменными параметрами, с перемнной структурой и т.д.

Синтез инвариантных систем управления обычно осуществляется с использованием показателей качества и ограничений, налагаемых на параметры. За показатели качества, характеризующие дополнительное движение, вызванное возмущающими воздействиями, могут приниматься максимальное отклонение дополнительного движения

или интегральное квадратичное отклонение вида:

.

Среди задач синтеза инвариантных систем выделяются задачи, в которых требования малой чувствительности формализованы в виде ограничений на дополнительное движение или на функцию чувствительности. В качестве ограничений могут использоваться соотношения

Здесь приняты следующие обозначения: - функция чувствительности, e - точность. Среди задач синтеза инвариантных систем выделяются задачи, в которых требования малой чувствительности формализованы в виде ограничений на дополнительное движение или на функцию чувствительности. Отметим, что системы абсолютно инвариантные как и системы с нулевой чувсвительностью к изменению неконтролируемых параметров физически не реализуемы. Системы параметрически инвариантные до e и системы с e - чувствительностью принципиально могут быть физически реализованы. В общей форме синтез таких систем, как во временной, так и в частотной области сводится к решению задачи нелинейного программирования, что связанно с вычислительными трудностями, когда речь идет о сложных системах. Рассмотрим класс систем управления, описываемых в комплексной плоскости системой уравнений, представленной векторно-матричной формой:

Y(x,h,s) = W(x,h,s) R(s)

(5.2)

где х – вектор настраиваемых параметров управляющей части, h – вектор неконтролируемых параметров системы управления, Y и R соответственно векторы сигналов на выходах объекта управления и внеших входах системы управления, W – матрица передаточных функций, коэффициенты которых выражены явно через компоненты векторов х и h. За характеристику дополнительного движения, вызванного вариацией вектора h, выберем суммарное отклонение сигналов на выходах объекта управления вследствие отклонения параметров вектора h от номинальных (расчетных) значений вектора h и запишем его в виде:

(5.3)

где k – размерность вектора y, z – размерность вектора h. Дополнительное движение при вариации неконтролируемого параметра h, возникающее на выходе i – го канала входы – выход многомерной системы управления определим выражением:

Тогда ограничение на модуль дополнительного движения может быть представлено условием:

(5.4)

Систему управления назовем параметрически инвариантной до e, если при вариации h дополнительное движение, возникшее в системе управления, не нарушит ограничение (5.4).

Основной задачей теории чувсвительности является анализ дополнительного движения вызванного вариацией параметров. Такой анализ, в частности, включает количественные оценки, характеризующие влияние одних параметров на другие или на качество технической системы в целом. Обычно анализ дополнительного движения строится на основе нахождения функций чувствительности, получаемых в результате решения дифференциальных уравнений называемых уравнениями чувствительности. Вместе с тем применяются различные косвенные оценки, в том числе частотные или корневые. Будем рассматривать систему управления в комплексной плоскости. В качестве вектора варьируемых параметров выберем вектор p, компоненты которого есть отдельные коэффициенты передаточных функций определенных звеньев системы управления. В качестве исследуемых характеристик, изменяющихся при вариации p, выберем вектор переменных y на выходах объекта управления (управляемых параметров). Тогда чувствительность y к p может быть представлена матрицей

(5.5)

для системы управления описываемой системой уравнений вида

Y(p, s) = W(p, s) R(s)

(5.6)

В формуле (5.5) k – размерность вектора y, а v – размерность вектора p, - начальное (номинальное) значение праметра , - установившееся значение сигнала на i- ом выходе при . Частные производные, входящие в формулу (5.5), вычисляются в точке .

Рассмотрим вопрос количественной оценки чувствительности установившегося режима к вариации параметров вектора p. Для этого положим s = 0 и R(s)=1/ s. В силу принятых допущений выражение (5.5) значительно упростится без потери существенной информации относительно установившегося режима:

(5.7)

Расчет матрицы чувствительности включает этапы:

1. Задание структуры и состава системы управления, вектора .

2. Построение W(p,s).

3. Формирование .

4. Определение .

5. Вычисление элементов матрицы чувствительности по формуле (5.7).

Если анализ диктует необходимость рассмотрения функций чувствительности для установления влияния вектора p на динамику системы управления, то s в формуле (5.7) не должно обнуляться и от полученных функций следует перейти к временным функциям на основе известного разложения Хевисайда рациональной алгебраической функции.

Дата добавления: 2014-01-05