Метод контурных токов

В данном методе предполагают, что в каждом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которых надо составить по 2^му закону Кирхгофа.

Вывод основных расчетных уравнений приведем на примере схемы рис.11. На рисунке 11 I₁₁-ток первого лев контура, I₁₂- ток в правом контуре. Для каждого из контуров составим уравнения по 2^му закону Кирхгофа. Направление обхода выберем по часовой стрелке.

Тогда получим:

1контур: (R₁+R₂)I₁₁+R₅(I₁₁-I₂₂)=E₃+E₄ (а)

(R₁+R₂+R₅)I₁₁-R₅I₂₂=E₃+E₄ (б)

2 контур: -R₅(I₁₁-I₂₂)+(R₃+R₄)I₂₂=-E₄-E₅ (в)

-R₅I₁₁+(R₃+R₄+R₅)I₂₂=-E₅-E₄ (г)

обозначим R₁+R₂+R₅=R₁₁

R₃+R₄+R₅=R₂₂

где R₁₁ и R₂₂ полное сопротивление 1 и 2 контуров соответственно;

E₁₁=E₃+E₄; E₂₂=-E₅-E₄ -ЭДС 1 и 2 контуров;

R₁₂ -сопротивление смежной ветви между 1 и 2 контурами.

В общем случае сопротивление смежной ветви между k и m контурами входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов I_kk и I_mm вдоль этой ветви встречные, и со знаком плюс, если направления этих токов совпадает.

Уравнение (а)-(г) перепишем в следующем виде:

R₁₁I₁₁+R₁₂I₂₂=E₁₁

R₂₁I₁₁+R₂₂I₂₂=E₂₂

При наличии в схеме 3^х контуров, система уравнений выглядит так:

R₁₁I₁₁+R₁₂I₂₂+ R₁₃I₃₃=E₁₁

R₂₁I₁₁+R₂₂I₂₂₊ R₂₃I₃₃=E₂₂

R₃₁I₁₁+R₃₂I₂₂₊ R₃₃I₃₃=E₃₃

Или в матричной форме эти уравнений можно записать: [R]*[I]=[E]

В ветвях не являющихся смежными между соседними контурами (например на рис.7 ветви с

сопротивлениями R₁ и R₂), найденный ток является током данной ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют ток ветви, ток через сопротивление R₅ равен I₁₁-I₂₂.

Если в схеме имеется n независимых контуров, то число уравнений равно n.

Общее решение системы n уравнений относительно тока I_kk таково:

Где Δ- определитель системы.

Δ_km –алгебраическое дополнение, получено из определителя Δ путем вычеркивания k-го столбца и m-ной строки и умножения полученного определителя на (-1)^k+m.

Составление уравнений по методу контурных для схем с источниками тока присущи некоторые особенности.

В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что эти токи известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами.

Для схемы рис.12 I₁₁=I_k, I₂₂₌I₃ (обходим по часовой стрелке).

(R₂+R₃)I₂₂-R₂I_k=E

отсюда

I₂=I₁₁-I_22.

Дата добавления: 2014-01-05