Билинейные функции

Евклидовы пространства

I. Квадратичные формы

Программа коллоквиума 2 семестр, 2013

0. Симметрические многочлены. Основная теорема об элементарных симметрических многочленах

1. Характеристика кольца/поля.

2. Квадратичные формы. Матричный вид.

3. Линейное преобразование переменных. Изменение матрицы квадратичной формы при линейных преобразованиях.

4. Теорема Лагранжа (о приведении квадратичной формы к диагонализуемому виду)

5. Классификация кв. ф. над полем комплексных чисел.

6. *. Классификация кв. ф. над полем вещественных чисел. Закон инерции вещественных кв. форм.

7. Собственные столбцы и собственные числа вещественной симметрической матрицы.

8. Ортогональные и ортонормированные системы столбцов., линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов, лемма о её дополнении до полной ортогональной системы.

9. Критерий ортогональности матрицы

10. Алгебраическая структура множества ортогональных матриц

11. * Приведение кв.формы к диагональному виду ортогональным преобразованием переменных. Доказательство существования такого преобразования.

12. * Коэффициенты и столбцы матрицы ортогонального преобразования, приводящего кв.форму к диагональному виду

13. Положительно определённые квадратичной формы. Критерии, в том числе и критерий Сильвестра с доказательством достаточности.

14. Теорема о приведении двух вещественных квадратичных форм к каноническому фиду невырожденным линейным преобразованием

1. Евклидовы пространства. Примеры.

2. Геометрические понятия в Евк. Простр..

3. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта

4. Замечания к процессу ортогонализации Г.-Ш. с доказательством.

5. Теорема об изоморфности Евклидовых пространств.

6. Ортогональное дополнение подпространства (подпространство, прямая сумма, ортогональное дополнение к ортогональному дополнению)

1. Билинейные и квадратичные функции. Примеры.

2. Теорема о существовании и единственности симметрической билинейной функции для квадратичной функции.

3. Критерий невырожденности билинейной формы

4. Ранг билинейной функции, его инвариантность

5. Ортогональное дополнение подпространства для билинейной функции.

6. Теорема о сумме пространства и его ортогонального дополнения для невырожденной функции в подпространстве

7. Теорема о размерности ортогонального дополнения к подпространству для произвольной функции

8. Теорема об ортогональном дополнении ортогонального дополнения подпространства

9. Теорема о существовании ортогонального базиса в пространстве для любой симметрической билинейной функции

10.*Теорема Грамма-Шмидта для билинейной функции. Следствия.

11. Теорема Якоби

12. Критерий Сильвестра

13. Теорема о существовании симплектического базиса для любой билинейной кососимметрической функции

14. Матрица Грамма в евклидовом пространстве. Обобщенное неравенство Коши-Буняковского

15. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора.

16. Расстояние в Евк. Простр., теорема Пифагора.

17. Теорема о вычислении расстояния от вектора до подпространства через матрицу Грамма

18. Объем параллелепипеда.

19. Ориентированный объем параллелепипеда.

Дата добавления: 2014-01-05