Пример 3.1.2

1. (Z, –) – группоид, но не полугруппа, поскольку операция вычитания не ассоциативна: (5 – 2) – 1 = 3 – 1 = 2, а 5 – (2 – 1) = 5 – 1 = 4.

2. (N, +) – полугруппа, но не моноид, поскольку в N нет нейтрального элемента относительно сложения.

3. (Z, ×), (Z / n Z, ×), " n Î N, – моноиды. ·

Определение 3.1.4. Моноид (X, *), у которого каждый элемент обратим, то есть для всякого x Î X существует обратный элемент y Î X такой, что x * y = y * x = e (тогда пишут y = ), называется группой.

Из ассоциативности операции * и определения 3.1.4 следует, что обратный элемент в группе (X, *) единственный для каждого x Î X: пусть y ₁ и y ₂ – обратные элементы к х, тогда

.

Пример 3.1.3. Примерами групп являются моноиды: (Z, +), (Q ^*, ×), (R ^*, ×), (C ^*, ×), ({–1, 1}, ×), (Z / n Z, +), (Z / n Z ^*, ×) для " n Î N. A ^* обозначает здесь и в дальнейшем множество всех обратимых элементов относительно некоторой бинарной алгебраической операции, заданной на множестве A. В частности Q ^* = Q \{0}, R ^* = R \{0}, C ^* = C \{0}, , для любого простого числа p. ·

В следующей главе будут рассмотрены кольца, поля, тела – алгебраические системы с двумя бинарными алгебраическими операциями. В данной главе остановимся на рассмотрении наиболее популярных алгебраических систем с одной операцией – группах.

Дата добавления: 2014-01-05