Подгруппы

Определение 3.3.1. Подгруппа группы (G, ·) – это непустое подмножество H множества G, которое в свою очередь является группой относительно той же бинарной алгебраической операции. Этот факт обозначают так: H £ G или H < G, если H Ì G.

Очевидно, что G £ G для произвольной группы (G, ·).

Пример 3.3.1. (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +), (Q ^*, ×) < (R ^*, ×) < (C ^*, ×). ·

Пример 3.3.2. C_m < C_n < (C ^*, ×) для всех m, n Î N, m | n и m < n. ·

Пример 3.3.3. Обозначим m Z = { mq | q Î Z } для фиксированного m Î Z. Тогда m Z £ n Z Û n | m. В частности … < (2 ^k Z, +) < … < (4 Z, +) < (2 Z, +) < (Z, +), k Î Z _³0. ·

Теорема 3.3.1 (критерий подгруппы). Непустое подмножество H группы (G, ·) является подгруппой тогда и только тогда, когда для произвольных a, b Î H выполняется условие: a · b ^–1 Î H.

Необходимость. Пусть H £ G, тогда для " a, с Î H a · с Î H. Поскольку для " b Î H $ b ^–1 Î H, то для " a, b Î H a · b ^–1 Î H.

Достаточность. Для " a, b Î H a · b ^–1 Î H. Отсюда следует выполнение следующих свойств:

1) для " a Î H a · a ^–1 = e Î H – нейтральный элемент группы (G, ·) находится в H;

2) для " a Î H e · a ^–1 = a ^–1 Î H, то есть для каждого элемента из H обратный к нему элемент также находится во множестве H;

3) для " a Î H, " b Î H $ b ^–1 Î H Þ a ·(b ^–1)^–1 = a · b Î H – определена бинарная алгебраическая операция на H, которая совпадает с операцией на G;

4) для " a, b, c Î H a ·(b · c) = (a · b)· c – операция на H ассоциативна, так как она ассоциативна на G.

Выполнение свойств 1–4 равносильно тому, что (H, ·) является группой согласно определению 3.2.1. Таким образом, H £ G.

В силу теоремы 3.3.1 в любой группе (G, ·) подмножество { e }, состоящее из одного нейтрального элемента е этой группы, является подгруппой.

Определение 3.3.2. Подгруппа H группы G называется собственной или нетривиальной, если H ¹ G и H ¹ { e }.

Упражнение 3.3.1. Проверить, что пересечение подгрупп произвольной группы – подгруппа этой группы.

Пример 3.3.4. Пусть K – одно из множеств: Z, Q, R или C. Специальной линейной группой SL_n (K) (от англ. special linear group – «специальная линейная группа») называется множество всех квадратных матриц порядка n Î N с коэффициентами из K и определителем, равным 1, с операцией матричного умножения. С помощью критерия подгруппы легко убедиться в том, что SL_n (K) < GL_n (K), но SL_n (Z) < GL_n (Q). Действительно, для " A, B Î SL_n (K) в силу свойств определителей

det (A × B ^–1) = det (A) × (det (B))^–1 = 1 × 1 = 1,

откуда следует, что A × B ^–1 Î SL_n (K). ·

Дата добавления: 2014-01-05