Понятие математической модели

Математическое моделирование и компьютерный эксперимент

Аналогичное моделирование

Аналогия – это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходные по соответствующим признакам, называют аналогами, а признаки, по которым объекты оказываются аналогами, – сходственными.

Умозаключение по аналогии основано на предположении существования тождественного в различном и выполняется по следующей схеме:

1) установлено, что объект О₁ обладает свойствами С₀,…С_n1, С’₁,...С’_n2;

2) установлено, что объект О₂ обладает свойствами С₁,…С_n1, С’₁,...С’_n2;

3) вывод: возможно. Объект О₁ обладает свойством С₀, как и объект O₂.

Умозаключение по аналогии имеет гипотетический характер. Оно может привести как к истинному, так и к ложному выводу.

Пример

Поскольку организм человека и организмы млекопитающих животных имеют общую биохимическую природу, то испытания новых лекарственных препаратов можно проводить на животных.

Аналогия имеет большое общенаучное значение. Она часто широко используется для придания наглядности сложным явлениям при их изучении.

Аналогичное моделирование – это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом, достаточным для экстраполяции ее свойств и отношений в свойства и отношения оригинала на основании умозаключения по аналогии.

Аналогичное моделирование используется обычно при сравнительно слабой изученности оригинала, когда имеющиеся сведения о его свойствах носят только качественный характер.

Задание

Придумать примеры различных видов моделей.

Математическими называют модели, обеспечивающие переход к оригиналу, фиксацию и исследование его свойств и отношений с помощью математических методов.

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью, обеспечивающей фиксацию и исследование свойств и отношений оригинала, а также переход к оригиналу с помощью математических методов. Особое значение среди математических моделей имеют подобные модели, обеспечивающие перенос данных на основании подобия.

Сходство объектов по их математическому описанию, т.е. математическая аналогия, при определенных условиях превращается в математическое подобие или просто подобие. Подобие – это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.

Математическое описание конкретного объекта может иметь разнообразную форму. В простейшем случае – это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы:

y=f(x₁, x₂, x₃, … x_n) (y=f(x_i), i=1, 2, … n).

В более сложном случае это конечное уравнение вида

F(y, x_i) = 0, i = 1, 2, … n,

выражающее зависимость y=f(x_i) в неявной форме.

В еще более сложном случае - это обыкновенное дифференциальное уравнение

F(y, y¢,...y⁽ⁿ⁾, x_i, x¢_I, … x_i^(m), t)=0,

связывающее независимую переменную t, известные функции x_i=x_i(t), неизвестную функцию y=y(t) и производные функций x_i и y.

Наконец, математическим описанием может быть дифференциальное уравнение в частных производных.

Два объекта называются подобными, если:

1) они имеют сходственное математическое описание:

F(y₁, x_1i, t_1k)=0, (5.1)

F(y₂, x_2i, t_2k)=0, (5.2)

где y₁, y₂ – неизвестные функции; x_1i, x_2i – заданные функции независимых переменных t_1k и t_2k;

2) сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называют масштабами или константами подобия:

m_y =y₁/ y₂, m_xi=x_1i/ x_2i, m_t=t_1k/ t_2k. (5.3)

При условии (5.3) сходственные уравнения (5.1) – (5.2) и функции, описывающие математические аналоги, а также содержащиеся в них сходственные переменные называют подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью.

Пример

Сходственные функции y₁=x₁² и y₂=8x₂² подобны, если m_y=y₁/ y₂ =2, m_x=x₁/ x₂ =4.

Для того чтобы убедиться, что данные функции изображаются одной кривой, постройте функции на одном графике, учитывая масштабные коэффициенты.

Особыми частными случаями подобия являются геометрическое, физическое и временное подобие. Геометрическое подобие – это подобие геометрических образов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел). Физическое подобие – это подобие физически однородных объектов. Временное подобие – это подобие функций времени.

В теории и практике подобие имеет большее значение, чем аналогия. При аналогии двух объектов распространение свойств одного на другой носит характер предположения и нуждается в проверке. При подобии двух объектов знание поведения одного из них означает знание поведения другого.

Дата добавления: 2014-01-05