Особенности математических моделей

Пример

В строительстве типичной задачей является расчет напряжений, возникающих в балке с заданными сечением и размерами под действием крутящей нагрузки. Простой, но эффективной физической моделью для решения данной задачи является следующая модель: берется труба того же сечения, что и балка, и затягивается с торца резиновой пленкой (мембраной). По трубе подается воздух под определенным давлением. Прогиб мембраны измеряется, и с помощью формул подобия результат пересчитывается в величину напряжений в деформированной балке. Возможность такого переноса результатов заключается в математическом подобии уравнений, описывающих напряжения в изогнутой балке и прогиб мембраны под избыточным давлением.

Осталось сделать еще один шаг – заменить физическое моделирование исследованиями математической модели.

Математические модели и математические методы используются физикой с самого начала ее возникновения. Со времени Галилея описание физического явления или процесса считается достоверным, если оно выражено с помощью числовых величин.

1. Математическая модель – это уравнения, которые описывают интересующие нас объект, явление или процесс.

2. Математическая модель включает в себя границы своей применимости, или дополнительные условия, определяющие область применимости данной модели.

3. Модель может быть столь сложна, что или не имеет аналитического решения, или решение соответствующих уравнений является очень трудоемким процессом. В этом случае решение ищется в приближенном виде.

Пример

Планета Нептун была открыта французским ученым Леверье математически, «на кончике пера», по возмущениям траектории движения планеты Уран. Леверье предположил, что причиной неправильности траектории Урана является неизвестная планета, и вычислил ее траекторию. Впоследствии эта планета была обнаружена астрономическими методами (астрономом Галле). Леверье рассмотрел задачу трех тел (Солнце, Уран и гипотетическая планета). Он затратил несколько месяцев на расчеты траектории новой планеты.

Естественно было бы переложить подобные расчеты на вычислительные устройства – ЭВМ.

Ни одно техническое достижение не повлияло так на интеллектуальную деятельность человека, как создание компьютеров. Компьютеры вызвали коренные изменения в области переработки информации.

Задачи, стоящие в настоящее время перед наукой и техникой, столь сложны, что их решение невозможно без применения ЭВМ. На сегодняшний день можно говорить о новой технологии, или методе исследования, основанной на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод называют вычислительным, или компьютерным экспериментом.

Пусть требуется исследовать какой-то физический объект, явление или процесс. Тогда схема или этапы вычислительного эксперимента выглядят следующим образом (рис. 5.1):

	объект		Математи-ческая модель		Метод решения (алгоритм)
				Программа		Расчет на ЭВМ

Анализ результатов

Корректировка результатов

Рис. 5.1

На первом этапе формулируются основные законы, управляющие данным объектом, и строится соответствующая математическая модель. При выборе физической и математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики. Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия т. д.) эти уравнения можно заменить линейными.

После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде (аналитическое решение). Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов решения задач. Под численным методом будем понимать такую интерпретацию математической модели, которая доступна для решения на ЭВМ. Численный метод представляет собой алгоритм, решающий данную задачу.

Реализуется алгоритм в виде программы для ЭВМ, написанной на каком-либо машинном языке. Прежде чем проводить окончательные расчеты, программу отлаживают, т.е. анализируют на наличие ошибок.

Затем наступают этапы проведения вычислений и анализа результатов. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению, и при необходимости вносятся уточнения в исследуемую модель.

Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. Его основу составляет триада модель-метод (алгоритм)-программа. Таким образом, математическое моделирование и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных исследований. В следующей таблице дается сравнение этапов лабораторного и вычислительного экспериментов.

Сравнение лабораторного и компьютерного экспериментов

Лабораторный эксперимент	Компьютерный эксперимент
Образец (объект)	Модель
Физический прибор	Программа для ЭВМ + ЭВМ
Калибровка измерительного прибора	Тестирование программы
Измерение	Расчет
Анализ результатов	Анализ результатов

Дата добавления: 2014-01-05