Математичне формулювання

Тема 4. Закони збереження в механіці.

Закони збереження енергії та імпульсу в механіці (2 год.)

Мета: Навчитись визначати імпульс тіла. Вивчити закони збереження імпульсу та механічної енергії.

План 1. Імпульс. Закон збереження імпульсу. 2. Центр мас. 3. Робота і потужність. 4. Закон збереження енергії в механіці.

Закон збереження механічної енергії

У механіці закон збереження енергії стверджує, що в замкненій системі частинок, повна енергія, що є сумою кінетичної і потенціальної енергії не залежить від часу, тобто єінтегралом руху. Закон збереження енергії справедливий тільки для замкнених систем, тобто за умови відсутності зовнішніх полів чи взаємодій.

Сили взаємодії між тілами, для яких виконується закон збереження механічної енергії називаються консервативними силами. Закон збереження механічної енергії не виконується для сил тертя, оскільки за наявності сил тертя відбувається перетворення механічної енергії в теплову.

Еволюція механічної системи матеріальних точок з масами за другим законом Ньютона задовольняє системі рівнянь

,

де - швидкості матеріальних точок, а - сили, що діють на ці точки.

Якщо подати сили, як суму потенціальних сил і непотенціальних сил , а потенціальні сили записати у вигляді

,

то, домножуючи усі рівняння на і можна отримати

Перша сума в правій частині рівняння є ні чим іншим, як похідною по часу від складної функції, а отже, якщо ввести позначення

і назвати цю величину механічною енергією, то, інтегруюючи рівняння від моменту часу t=0 до моменту часу t, можна отримати

,

де інтегрування проводиться вздовж траєкторій руху матеріальних точок.

Таким чином,

Зміна механічної енергії системи матеріальних точок з часом дорівнює роботі непотенціальних сил.

Закон збереження енергії в механіці виконується тільки для систем, у яких всі сили потенціальні^[4].

Ще на ранніх етапах розвитку фізики рівняння механіки використовувалися до небесних тіл, для яких непотенціальні сили, наприклад, сила тертя, дуже малі і ними можна знехтувати. Непотенціальних сил не існує також у мікросвіті атомів і молекул. В цих системах закон збереження механічної енергії відіграє ключову роль. А от на побутовому рівні, в світі земних природних явищ і машин, механічна енергія не зберігається. Тому повне формулювання закону збереження енергії вимагає вивчення теплових явищ.

Дата добавления: 2014-01-05