Оценивание параметров моделей с гетероскедастичностью возмущений

Рассмотрим использование обобщенного метода наименьших квадратов для корректировки гетероскедастичности возмущений. Пусть строится линейная регрессионная модель (1). Будем считать, что модель гетероскедастична, т. е. дисперсии возмущений (i =1, 2, …, n) не равны между собой, а сами возмущения не коррелированны и их математические ожидания равны нулю. Это означает, что ковариационная матрица вектора возмущений W будет диагональной:

.

(25)

Для оценки параметров такой модели используется взвешенный метод наименьших квадратов (Weighted Least Squares), являющийся частным случаем обобщенного МНК.

Сущность взвешенного метода наименьших квадратов состоит в том, что каждый квадрат остатка (i =1, 2, …, n) «взвешивается» с помощью коэффициента , где s(e _i) — среднее квадратическое отклонение i -го возмущения. Тем самым добиваются равномерного вклада остатков в остаточную сумму квадратов, что приводит, в конечном счете к получению несмещенных и наиболее эффективных оценок параметров модели.

Условие взвешенного метода наименьших квадратов имеет вид:

.

(26)

Вектор b* оценок параметров модели определяется по формуле (24).

На практике, однако, средние квадратические отклонения возмущений s(e _i) почти никогда не бывают известны. Поэтому для применения взвешенного метода наименьших квадратов, необходимо сделать предположение о значениях s(e _i). Весьма часто считают, что среднее квадратическое отклонение возмущений пропорционально значениям одного из факторов, предположительно делающих выборочную совокупность неоднородной.

Пусть имеются исходные данные для построения модели множественной регрессии (табл. 1).

Таблица	1
Исходные данные для построения модели множественной регрессии

Номер наблюдения (объекта)	Значение результата Y	Набор факторов и их значения
X 0	X 1	X 2	…	Xj	…	Xp
	y 1		x 11	x 12	…	x 1 j	…	x 1 p
	y 2		x 21	x 22	…	x 2 j	…	x 2 p
…	…	…	…	…	…	…	…	…
i	yi		xi 1	xi 2	…	xij	…	xip
…	…	…	…	…	…		…	…
n	yn		xn 1	xn 2	…	xnj	…	xnp

Представим модель (1) в развернутом виде:

(i =1, 2, …, n).

(27)

Если предположить, что среднее квадратическое отклонение возмущений s(e _i) (i =1, 2, …, n) пропорционально значениям x_ij фактора X_j (или, что одно и тоже — дисперсия возмущений пропорциональна квадрату значений фактора X_j), то исходные данные преобразуются их делением на соответствующие значения x_ij (i =1, 2, …, n). Такое преобразование называется масштабированием исходных данных по фактору X_j. (табл. 2).

Таблица
Масштабирование исходных данныхпо фактору Xj

Номер наблюдения (объекта)	Значение результата Y	Набор факторов и их значения
X 0	X 1	X 2	…	Xj	…	Xp
	y 1/ x 1 j	1/ x 1 j	x 11/ x 1 j	x 12/ x 1 j	…		…	x 1 p / x 1 j
	y 2/ x 2 j	1/ x 2 j	x 21/ x 2 j	x 22/ x 2 j	…		…	x 2 p / x 2 j
…	…	…	…	…	…	…	…	…
i	yi / xij	1/ xij	xi 1/ xij	xi 2/ xij	…		…	xip / xij
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	yn / xnj	1/ xnj	xn 1/ xnj	xn 2/ xnj	…		…	xnp / xnj

Таким же образом преобразуется и модель (27):

(i =1, 2, …, n),

(28)

или, что одно и тоже —

(i =1, 2, …, n),

(29)

Введем обозначения.

Пусть , , , , …, , , тогда преобразованная модель окончательно будет иметь вид:

(i =1, 2, …, n).

(30)

Параметры преобразованной модели (30) оцениваются обычным методом наименьших квадратов. Если предположение о пропорциональности среднего квадратического отклонения возмущений значениям фактора X_j имеет основание, то «новое» возмущение n _i будет иметь постоянную и притом — наименьшую дисперсию, а коэффициенты уравнения регрессии окажутся несмещенными и эффективными оценками параметров модели (30). Вместе с тем следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают другое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным. Поэтому численно оценки параметров моделей (27) и (30) в общем случае не совпадают.

Если строится линейная модель парной регрессии Y по X

(i =1, 2, …, n),

(31)

то она трансформируется в модель

(i =1, 2, …, n),

(32)

в которой свободный член и угловой коэффициент как бы поменялись местами.

На практике иногда имеет смысл попробовать использовать одновременно несколько факторов для масштабирования исходных данных. Если каждый раз получаются сходные результаты и тесты Голдфельда–Квандта по всем факторам не выявляют гетероскедастичность возмущений, то эту проблему можно считать решенной.

В ряде случаев дисперсия возмущений зависит не от включенных в модель факторов, а от тех, которые не включены в модель, но играют существенную роль в исследуемой зависимости. Иногда для устранения гетероскедастичности необходимо изменить спецификацию модели, например, линейную на логарифмическую и т.д.

Дата добавления: 2014-01-05