Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Основные типы проекций




Читайте также:
  1. D.2 Идентификация затрат на основные действия
  2. I. Основные задачи обеспечения безопасности и информации в информационных системах
  3. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМАХ
  4. I. Основные теории происхождения государства и права.
  5. А. Колониальная система: основные этапы.
  6. Актуальность и основные понятия функции контроля
  7. Арбитражные суды, их роль и основные задачи
  8. Арматура. Её основные физико-механические свойства. Арматурные изделия
  9. Бактериальные интоксикации и микотоксикозы. Основные направления профилактики.
  10. Бетоны. Определение. Основные свойства
  11. Бинарные отношения. Основные определения
  12. Бухгалтерские счета: основные понятия

Мировые и экранные координаты

Проекции

При использовании любых графических устройств обычно используют проекции. Проекция задает способ отображения объектов на графическом устройстве. Мы будем рассматривать только проекции на плоскость.

Проецирование - отображение точек, заданных в системе координат с размерностью N, в точки в системе меньшей размерности.

Проекторы (проецирующие лучи) - отрезки прямых, идущие из центра проекции через каждую точку объекта до пересечения с плоскостью проекции (картинной плоскостью).

При отображении пространственных объектов на экране или на листе бумаги с помощью принтера необходимо знать координаты объектов. Мы рассмотрим две системы координат. Первая — мировые координаты, которые описывают истинное положение объектов в пространстве с заданной точностью. Вторая — система координат устройства отображения, в котором осуществляется вывод изображения объектов в заданной проекции. Назовем систему координат графического устройства экранными координатами (хотя это устройство и не обязательно должно быть подобно монитору компьютера).

Пусть мировые координаты будут трехмерными прямоугольными координатами. Где должен размещаться центр координат, и какими будут единицы измерения вдоль каждой оси, для нас сейчас не очень важно. Важно то, что для отображения мы будем знать любые числовые значения координат отображаемых объектов.

Для получения изображения в определенной проекции необходимо вычислить координаты проекции. Для синтеза изображения на плоскости экрана или бумаге используем двумерную систему координат. Основная задача — задать преобразования координат из мировых в экранные.

 

Изображение объектов на плоскости (экране дисплея) связано с геометрической операцией проектированием. В компьютерной графике используется несколько видов проектирования, но основных - два вида: параллельное и центральное.

Проектирующий пучок лучей направляется через объект на картинную плоскость, на которую в дальнейшем находят координаты пересечения лучей (или прямых) с этой плоскостью.

 

Рис. 2.14. Основные типы проекций

 

При центральном проектировании все прямые исходят из одной точки.

При параллельном - считается, что центр лучей (прямых) бесконечно удален, а прямые параллельны.

Каждый из этих основных классов разбивается еще на несколько подклассов в зависимости от взаимного расположения картинной плоскости и координатных осей.


 

Перспективные (центральные) проекции

 

 

Одноточечная проекция

 

 

Рис. 2.15. Классификация плоских проекций



У параллельных проекций центр проекции расположен в бесконечности от плоскости проекции:

  • ортографические (ортогональные),
  • аксонометрические (прямоугольные аксонометрические) - проекторы перпендикулярны к плоскости проекции, расположенной под углом к главной оси,
  • косоугольные (косоугольные аксонометрические) - плоскость проекции перпендикулярна к главной оси, проекторы расположены под углом к плоскости проекции.

У центральных проекций центр проекции находится на конечном расстоянии от плоскости проекции. Имеют место так называемые перспективные искажения.

 

 

Ортогональные проекции (основные виды)

 


Рис. 2.16. Ортогональные проекции

  1. Вид спереди, главный вид, фронтальная проекция, (на заднюю грань V),
  2. Вид сверху, план, горизонтальная проекция, (на нижнюю грань H),
  3. Вид слева, профильная проекция, (на правую грань W),
  4. Вид справа (на левую грань),
  5. Вид снизу (на верхнюю грань),
  6. Вид сзади (на переднюю грань).

Матрица ортогональной проекции на плоскость YZ вдоль оси Х имеет вид:

 

 

Если же плоскость параллельна, то эту матрицу надо умножить на матрицу сдвига, тогда:

где р - сдвиг по оси Х;

 

Для плоскости ZX вдоль оси Y

 

где q - сдвиг по оси Y;

 

Для плоскости XY вдоль оси Z:

 

где R - сдвиг по оси Z.

При аксонометрической проекции проектирующие прямые перпендикулярны плоскости картинки.

Изометрия - все три угла между нормалью картинки и координатными осями равны.

Диметрия -два угла между нормалью картинки и координатными осями равны.

Триметрия - нормальный вектор плоскости картинки образует с координатными осями различные углы.

Каждый из трех видов этих проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование.


При повороте на угол β относительно оси У (ординат), на угол α вокруг оси Х (абсцисс) и последующем проектировании оси Z (аппликат) возникает матрица

 

 

Изометрическая проекция

Рис. 2.17. Изометрические проекции

Диметрическая проекция

Рис. 2.18. Диметрические проекции

Косоугольные проекции

Классический пример параллельной косоугольной проекции — кабинетная проекция (рис. 2. 26). Эта проекция часто используется в математической литературе для черчения объемных форм. Ось у изображается наклоненной под углом 45 градусов. Вдоль оси у масштаб 0. 5, вдоль других осей — масштаб 1. Запишем формулы вычисления координат плоскости проецирования

Здесь, как и раньше, ось Υпр направлена вниз.

Для косоугольных параллельных проекций лучи проецирования не перпендикулярны плоскости проецирования.

 

Рис. 2.19. Косоугольные проекции

Теперь относительно центральной проекции. Поскольку для нее лучи проецирования не параллельны, то будем считать нормальной такую центральную проекцию, главная ось которой перпендикулярна плоскости проецирования. Для центральной косоугольной проекции главная ось не перпендикулярна плоскости проецирования.

Рассмотрим пример центральной косоугольной проекции, которая показывает параллельными линиями все вертикальные линии изображаемых объектов. Расположим плоскость проецирования вертикально, ракурс показа зададим углами а, β и положением точки схода (рис. 2. 21).

Рис.2.20. Кабинетная проекция

Рис. 2.21. Вертикальная центральная косоугольная проекция: а – расположение плоскости проецирования, б – вид с левого торца плокости проецирования

Будем считать, что ось Ζ видовых координат располагается перпендикулярно плоскости проецирования. Центр видовых координат — в точке (хс, ус, zc). Запишем соответствующее видовое преобразование:

 

Как и для нормальной центральной проекции, точка схода лучей проецирования располагается на оси Ζ на расстоянии Ζk от центра видовых координат. Необходимо учесть наклон главной оси косоугольной проекции. Для этого достаточно отнять от Υпр длину отрезка 0-0' (рис. 2.21). Эта длина равняется (Ζk - Ζпл) ctgβ. Теперь запишем результат — формулы вычисления координат косоугольной вертикальной проекции

где Пх и Пу — это функции проецирования для нормальной проекции.

Следует отметить, что для такой проекции нельзя сделать вид сверху (β = 0), поскольку здесь сtgP = ∞.

Свойство рассмотренной вертикальной косоугольной проекции, заключающееся в сохранении параллельности вертикальных линий, иногда полезно, например, при изображении домов в архитектурных компьютерных системах. Сравните рис. 2. 22 (верх) и рис. 2.22 (низ). На нижнем рисунке вертикали изображаются вертикалями — дома не "разваливаются".

Рис. 2.21. Сравнение проекций

Кабинетная проекция (аксонометрическая косоугольная фронтальная диметрическая проекция)

 

Рис. 2.23.Кабинетная проекция

Свободная проекция (аксонометрическая косоугольная горизонтальная изометрическая проекция)


Рис. 2.24.Свободная проекция

Центральная проекция

Центральные проекции параллельных прямых, не параллельных плоскости проекции, сходятся в точкесхода.

В зависимости от числа координатных осей, которые пересекает плоскость проекции, различаются одно, двух и трехточечные центральные проекции.


Рис. 2.25. Центральная проекция

Рассмотрим пример перспективной (центрально) проекции для вертикального расположения камеры, когда α = β = 0. Такую проекцию можно себе представить как изображение на стекле, через которое смотрит наблюдатель, расположенный сверху в точке (х, у, z) = (0, 0, zk). Здесь плоскость проецирования параллельна плоскости (х 0 у), как показано на рис. 2. 26.

Для произвольной точки пространства (Р), исходя из подобия треугольников, запишем такие пропорции:

 

Xпр/(zk – zпл) = x/(zk – z)

Yпр /(zk – zпл) = y/(zk – z)

 

Найдем координаты проекции, учитывая также координату Ζпр:

 

Запишем такие преобразования координат в функциональном виде

где Π — функция перспективного преобразования координат.

 

 

Рис. 2.26.Перпективная проекция

 

 

В матричной форме преобразования координат можно записать так:

Обратите внимание на то, что здесь коэффициенты матрицы зависят от координаты z (в знаменателе дроби). Это означает, что преобразование координат — нелинейное (а точнее, дробно-линейное), оно относится к классу проективных преобразований.

Мы получили формулы вычисления координат проекции для случая, когда точка схода лучей находится на оси z. Теперь рассмотрим общий случай. Введем видовую систему координат {X, Υ, Ζ), произвольно расположенную в трехмерном пространстве (х, у, z). Пусть точка схода находится на оси Ζ видовой системы координат, а направление обзора — вдоль оси Ζ противоположно ее направлению. Будем считать, что преобразование в видовые координаты описывается трехмерным аффинным преобразованием

После вычисления координат (X, Y, Z) можно вычислить координаты в плоскости проецирования в соответствии с формулами, уже рассмотренными нами ранее. Поскольку точка схода находится на оси Ζ видовых координат, то

Последовательность преобразования координат можно описать так:

Такое преобразование координат позволяет моделировать расположения камеры в любой точке пространства и отображать в центре плоскости проецирования любые объекты обзора.


Рис. 2.27. Центральная проекция точки P0 в плоскость Z = d

 

 

Глава 3. Растровая графика. Базовые растровые алгоритмы





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 5603; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.008 сек.