Логические основы построения ЭВМ. Большинство схем управления и счета в ЭВМ являются логическими схемами

Большинство схем управления и счета в ЭВМ являются логическими схемами. Составные части этих схем, называемые логическими элементами выполняют определенные логические функции. В основу построения логических элементов и схем положены законы и правила математической логики.

Логика - это наука о законах человеческого мышления. В середине прошлого века на логику было распространено буквенное исчисление и формульное выражение логических связей, которые существуют между суждениями, понятиями, высказываниями. Большой вклад в разработку основ применения формального метода математики в области логики сделали ученые Лейбниц, русский математик Порецкий П.С., английский математик Джорж Буль и другие. В 1854 г. Джорж Буль опубликовал книгу ²Законы мышления² (²The Laws of Thaught²), в которой им была развита алгебра высказываний, получившая впоследствии название алгебры логики, или Булева алгебра. Алгебра логики явилась основой, на которой в начале XX века стала развиваться теория релейно-контактных схем и практика конструирования сложных дискретных автоматов, способных принимать различные состояния, переходить под воздействием входных сигналов из одного состояния в другое и выдавать выходные сигналы. Алгебра логики является инструментом разработки сложных схем, оптимизации многих тысяч логических элементов, из которых состоит современная ЭВМ.

Алгебра логики

Алгебра логики - это раздел математической логики значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Особое значение для разработки логических схем ЭВМ имеет исчисление высказываний.

Высказывание - это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать о его истинности или ложности.

При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Пример. Высказывания: ²Сейчас идет снег² - это утверждение может быть истинным или ложным; ²Москва - столица России² - истинное утверждение; ²частное от деления 10 на 2 равно 3² - ложное утверждение.

Если высказывание истинно, то значение его истинности принимается равным единице, если высказывание ложно, то значение его истинности оценивается нулем.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простое высказывание содержит одну простую законченную мысль. Например, доска черная. Простые высказывания с помощью специальных символов (логических связей) объединяются в сложные, истинность которых зависит от значений истинности составляющих высказываний и вида логических операций, выполняемых над этими высказываниями. Так как простые высказывания могут принимать значения 1 или 0, их называют логическими (двоичными) переменными. Сложные высказывания - логическими функциями этих переменных. В устройствах ЭВМ истинность и ложность высказываний представляется электрическими сигналами разного уровня. Например, истинность высказывания представляется сигналом высокого уровня (сигнал кода 1), а ложность - сигналом низкого уровня (сигнал кода 0).

В алгебре логики, как и в обычной алгебре, используют символическую запись. Если простые высказывания обозначить латинскими буквами a,b,c,..., а сложные - буквами x,y,z, то сложное высказывание можно записать в виде функции x = f(a,b,c,...,k).

Эта функция в алгебре логики называется переключательной (булевой), если сама функция и ее переменные a,b,c,...,k могут принимать только два значения 0 или 1. Переключательные функции могут задаваться в виде таблицы истинности, примерная форма которой для функции трех переменных x = f(a,b,c) приведена в табл.3. Число наборов, определяющих функцию x табличным способом, равно 2ⁿ, где n - число переменных. В табл.3. каждому из восьми возможных наборов значений переменных a,b,c соответствует значение функции x, равное 0 или 1. Например, набору a = 1, b = 0, c = 1 соответствует значение функции x, равное единице. Применительно к ЭВМ это означает, что сигнал x высокого уровня на выходе анализируемой схемы появится лишь в том случае, если на входы a и c поступят единичные сигналы, а на вход b нулевой.

Таблица 3.

а	в	с	х	а	в	с	х	а	в	с	х

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе, операция ИЛИ, операция дизъюнкции и логического умножения (иначе, операция И, операция конъюнкции. Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения - символы * или ^.

Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий.

В частности, для алгебры логики выполняются законы:

1) сочетательный:

(a + b)+ c = a +(b + c);

(a*b)*c = a*(b*c);

2) переместительный;

a + b = b + a;

a*b = b*a;

3) распределительный:

a*(b + c) = a*b + a*c;

(a + b)*c = a*b + b*c.

Справедливы соотношения:

a + a = a; a + b = b, если a £ b;

a*a = a; a*b = a, если a £ b;

a + a*b = a; a + b = b, если a ³ b

a + b = a, если a ³ b; и др.

Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом - 1.

В алгебре логики также вводится еще одна операция - операция отрицания (иначе, операция НЕ, операция инверсии), обозначаемая чертой над элементом.

_ _ _ _ _
По определению: a + a = 1, a*a = 0, 0=1, 1=0.

Для логических схем ИЛИ, И и НЕ существуют типовые технические схемы, реализующие их на реле, электронных лампах, дискретных полупроводниковых элементах. Для построения современных ЭВМ обычно применяются системы интегральных элементов, у которых с целью большей унификации в качестве базовой логической схемы используется всего одна из схем: И - НЕ (штрих Шеффера), ИЛИ - НЕ (стрелка Пирса) или И - ИЛИ - НЕ.

Контрольные вопросы к лекции 6

1. Чем обусловлен выбор двоичной системы счисления в качестве основной?

2. Дайте определение основанию позиционной системы счисления?

3. Какие вспомогательные системы счисления вы знаете?

4. Какими категориями оперирует логика?

Литература

1. Антонов А. К. Основы информационной культуры. Учебное пособие. М. 2005.

2. «Информатика-2006: электронный учебно-методический комплекс». А. К. Антонов, О. В. Пузырева. РЕГИСТРАЦИОННОЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО № 8602 ОТ 11 СЕНТЯБРЯ 2006 г. ФГУП «ИНФОРМРЕГИСТР» ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ДЕПОЗИТАРИЙ ЭЛЕКТРОННЫХ ИЗДАНИЙ. Номер государственной регистрации 0320601306.

Дата добавления: 2014-01-05