Эффект Холла в полупроводниках

39.1. Определение

Эффект Холла – возникновение в твердом, помещенном в магнитное поле металле или полупроводнике электрического поля, перпендикулярного направлениям тока и магнитной индукции. Это поле называется полем Холла.

39.2. Эффект Холла в металлах и полупроводниках - или -типа

Для классического объяснения эффекта Холла рассмотрим однородную металлическую или полупроводниковую плоскопараллельную пластинку длиной (между точками 1 и 3, рис. для электронной проводимости), высотой (толщиной) и шириной (между точками 2 и 4). Пусть – магнитная индукция; – плотность тока в образце. Для металла и полупроводников - или -типа плотность тока соответственно равна:

, , . (1)

На движущийся в магнитном поле электрический заряд действует сила Лоренца , под действием которой возникает поперечный ток: электроны и дырки будут отклоняться вправо, поэтому правая грань пластинки приобретет отрицательный или положительный заряд, а левая – зарядится противоположно. Заряженные грани создают поперечное электрическое поле между точками 2 и 4. Грани заряжаются до тех пор, пока не наступит равновесие, при котором силу Лоренца, действующую на носитель заряда, компенсирует противоположно направленная электрическая сила , и поперечный ток исчезает. Силы уравновешивают друг друга: , следовательно, . Отсюда, согласно (1), .

39.3. Константа Холла

Таким образом, напряженность поля Холла может быть вычислена по формуле:

, (1)

в которой коэффициент характеризует образец и эффект и называется постоянной Холла (более точная квантовая теория, учитывающая участие в токе электронов, обладающих различными скоростями, приводит к выражению для постоянной Холла). Знак зависит от знака основных носителей заряда: если их заряд , то ; если , то . Для каждого полупроводникового образца, находящегося при фиксированной температуре, постоянна. Таким образом, при изучении эффекта Холла в металлах и полупроводниках - или -типа, измерив , можно найти концентрацию носителей , , , а по знаку возникающей разности потенциалов Холла (рис.) – механизм проводимости полупроводников: для дырочного полупроводника , а для электронного – .

Рис. Полярность ЭДС Холла и поле Холла в полупроводнике а) -типа; б) -типа.

39.4. Разность потенциалов (ЭДС) Холла в металлах и полупроводниках - или -типа

Пусть ток силой (рис.) течет от нас в направлении от точки 1 к точке 3, Индукция магнитного поля направлена вниз перпендикулярно верхней грани пластинки и перпендикулярно току. Сила и плотность тока связаны соотношением:

, (2)

где – площадь сечения, поперечного току. Между точками граней в направлении (точками 4 и 2 на рис. к п. 39.2) устанавливается разность потенциалов

, (3)

которая называется разностью потенциалов или ЭДС Холла. Если , то модуль максимален и равен . Подставляя эту формулу в выражение (3) и учитывая (2), получим: .

39.5. Эффект Холла в полупроводниках со смешанной или собственной проводимостью

Если полупроводник имеет смешанную или собственную проводимость, то проходящий в полупроводниковой пластинке ток обусловлен движением дырок и электронов в противоположных направлениях. Следовательно, направления отклонения дырок и электронов под действием магнитного поля совпадают: и те, и другие отклоняются одной грани пластинки. Возникающая разность потенциалов Холла, величина и знак в этом случае будут зависеть от соотношения концентраций и подвижностей дырок и электронов и могут быть равны нулю.

Найдем упрощенным способом постоянную Холла для общего случая. Для этого учтем, что на самом деле удельная проводимость – это тензор (матрица) коэффициентов , определяемый законом Ома в дифференциальной форме :

;

; (1)

.

Пусть для простоты , то есть , где – напряженность электрического поля, вызывающего ток. Тогда . Напряженность результирующего электрического поля вычисляется по принципу суперпозиции: . Пусть , , следовательно, . Тогда проекции на оси равны: ; , . Подставив значения проекций в систему уравнений (1), с учетом того, что в установившемся состоянии поперечного тока нет () получим:

;

; (2)

.

Так как от названия осей физика не зависит, уравнения симметричны относительно замены . Следовательно, ; . Чтобы связать с , выразим из третьего уравнения системы (2):

(3)

и подставим полученное выражение в первое уравнение: . Тогда . Отсюда

. (4)

Для слабых магнитных полей , следовательно, согласно (3), , поэтому, , и приближенно можно считать, что . Тогда формула (4) принимает вид:

. (5)

Плотность тока, текущего через полупроводниковую пластинку, . При этом не сонаправлен с ! Проводимость

, (6)

где и – подвижность носителей заряда в направлении .

Чтобы найти будем считать, что на каждый тип носителя заряда действует поле . Отсюда

. (7)

Из формулы (3) с учетом равенств и (6):

. (8)

Подставив (8) в (5), получим:

.

Таким образом, константа Холла , с учетом квантово-статистических эффектов .

В случае собственной проводимости , поэтому .

Дата добавления: 2014-01-05