Формула полной вероятности

Формулы сложения вероятностей

Формулы умножения вероятностей

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для любых двух зависимых событий A и B справедлива формула:

P(A × B) = P(B)×P(A|B) = P(A)×P(B|A), [P(A × B) ≠ 0]. (5)

Для любых двух независимых событий A и B справедлива формула:

P(A × B) = P(A)×P(B). (6)

Если события A₁ и A₂ несовместные, то: P(A₁ + A₂) = P(A₁) + P(A₂) (7)

Если события A₁ и A₂ совместные, то: P(A₁ + A₂) = P(A₁) + P(A₂) – P(A₁ × A₂) (8)

Пример 9 Найти вероятность вытащить туза (событие A) или червовую масть (событие B) при случайном выборе одной карты из полной колоды.

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A × B) = P(A) + P(B) – P(A)×P(B) = 4/52 + 1/4 – 4/52×1/4 =

= (16 + 52 + 4) / 208 = 72/208 = 9/26.

Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов (если керосина хватит).

Теорема Пусть имеется группа событий H₁, H₂,..., H_n, называемых гипотезами, образуют полную группу событий, т.е. обладает следующими свойствами:

1). Все гипотезы попарно несовместны: H_i × H_j =; i, j = 1, 2,..., n; i j.

2). Объединение гипотез образует пространство элементарных исходов: W = H₁ + H₂ +... + H_n.

Тогда вероятность наступления любого события А Ì W. может быть вычислена по формула полной вероятности:

P(A) = P(H _i)×P(A | H _i). (9)

Пример 10 Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод – 35% и 3-й завод – 40% всей продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция через общий склад поступает в продажу. Найти вероятность покупки бракованного изделия.

Пусть событие А состоит в покупке бракованного изделия. Рассмотрим три гипотезы: Н_i – изделие изготовлено i -ым заводом (i = 1, 2, 3). Вероятности этих гипотез нам известны: P(Н₁) = 0,25; P(Н₂) = 0,35; P(Н₃) = 0,4. Нам также известны следующие условные вероятности: P(A | Н₁) = 0,05; P(A | Н₂) = 0,03; P(A | Н₃) = 0,04. Тогда:

P(A) = 0,25×0,05 + 0,35×0,03 + 0,4×0,04 = 0,0125 + 0,0105 + 0,0160 = 0,0390.

Дата добавления: 2014-01-05