Формула Байеса (апостериорные вероятности)

Пусть Н₁, Н₂,..., Н_n – полная группа событий и A Ì W – некоторое событие с ненулевой вероятностью. Тогда условная вероятность того, что имело место реализация гипотезы H _i, если в результате эксперимента наступило событие A, можно вычислить по формуле Байеса:

P(H _i| A) = P(A | H _i)×P(H _i) / P(H _i)×P(A | H _i). (9)

Вернемся к примеру 10 и найдем условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если оно оказалось бракованным.

P(H ₁| A) = P(H ₁)×P(A | H ₁) / P(A) = 0,0125 / 0,0390 = 125 / 390 = 25 / 74.

Пример 11 Один из двух стрелков стреляет в подброшенную монету из укрытия. Вероятности их попадания равны: 0,02 и 0,03 соответственно. Было зафиксировано попадание. Какова вероятность того, что: а) стрелял первый стрелок; б) стрелял второй стрелок?

Можно выдвинуть две гипотезы относительно проведения эксперимента:

Н₁ – стреляет 1-й стрелок и Н₂ – стреляет 2-й стрелок.

Априорные вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н₁) = P(Н₂) = 1/2.

Найдем вероятность попадания по монете в условиях данного эксперимента:

P(A) = P(H ₁)×P(A | H ₁) + P(H ₂)×P(A | H ₂) = 0,5×0,02 + 0,5×0,03 = 0,010 + 0,015 = 0,025.

Найдем теперь апостериорные вероятности реализации выдвинутых гипотез:

P(H ₁| A) = P(H ₁)×P(A | H ₁) / P(A) = 0,010 / 0,025 = 10 / 25 = 2 / 5 = 0,4.

P(H ₂| A) = P(H ₂)×P(A | H ₂) / P(A) = 0,015 / 0,025 = 15 / 25 = 3 / 5 = 0,6.

Дата добавления: 2014-01-05