Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью, называемая первой позиционной задачей, широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач:

· на пересечение двух плоскостей;

· пересечение поверхности с плоскостью;

· пересечение прямой с поверхностью;

· взаимное пересечение поверхностей.

Построить точку пересечения прямой с плоскостью – значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости..

5.2.1. Плоскость занимает проецирующее положение

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, рис. 5.2), то фронтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать фронтальному следу плоскости и фронтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется фронтальная проекция M₂ точки M (точка пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью S(DABC)), а затем ее горизонтальная проекция. Точка M₁ определена из условия принадлежности точки M прямой EF.

Полагая, что плоскость S представляет собой непрозрачный треугольник, установим видимость проекций прямой EF. На П₂ вся проекция прямой EF видима, так как она не закрывается треугольником. На П₁ участок прямой правее M₂ невидим, так как он находится ниже плоскости при взгляде на П₁.

5.2.2. Прямая занимает проецирующее положение

На рис. 5.3 изображена плоскость общего положенияP (DABC ) и горизонтально-проецирующая прямая EF, пересекающая плоскость в точке M. Фронтальная проекция точки - точка M₂ - совпадает с точками E₂ и F₂, так как M принадлежит прямой.Для построения горизонтальной проекции искомой точки пересечения проведем через точку M в плоскости Pпрямую (например, KL). Сначала построим ее фронтальную проекцию, а затем – горизонтальную. Точка M является точкой пересечения прямых EF и KL.Так как точка M одновременно лежит на прямой EF и в плоскости P (KLÎP), то она является точкой их пересечения.

Для установления видимости проекции прямой на П₁ вводим конкурирующие точки 1 и 2. Так как точка 2 дальше удалена от плоскости П₁, то относительно П₁ она будет видимой, а невидимой будет точка 1. Заметим, что точка 2 принадлежит прямой EF. Следовательно, в окрестности точек 1₁=2₁ до M₁ проекция прямой будет видимой. Выше M₁ проекция прямой будет невидимой. Невидимый участок проекции прямой показан штриховой линией.

Дата добавления: 2014-01-05