Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Исследование линейных систем на фазовой плоскости

Читайте также:
  1. APS системы
  2. CASE-системы
  3. CSPR системы
  4. Cимпатическая нервная система. Центральный и периферический отдел симпатической нервной системы.
  5. DNS-система
  6. ERP системы
  7. I - подсистемы - об этом речь шла выше.
  8. I начало ТД обобщает закон сохранения энергии для ТД процессов: количество теплоты, сообщаемое системе, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение системой работы.
  9. I. Абиотические компоненты экосистем.
  10. I. Конституционное право России как отрасль российской правовой системы.
  11. I. Концепция безопасности системы защиты
  12. I. основания геометрии. система аксиом Вейля евклидова трехмерного пространства



Особенности метода фазового пространства.

1. фазовые пространства и фазовые траектории это лишь геометр образы динамических процессов протекающих в системе. 2. в этом геометр-ом предствал-ии участвуют фазовые координаты, а время исключено. 3. Фазовая траектория дает лишь качественное но неколичественное представление о характере поведения системы. 4. Если исходная система ур-ий составлена в отклонениях от установившегося состояния, то установ-ся состояние будет харак-ся началом координат в фазовом пространстве. 4.1 Соотв-е фазовые траектории устойчив системы будут асимптотически приближаться к началу координат. 4.2 Для НС фазовые координаты в различных областях могут иметь различные очертания. 4.3 В верхней полуплоскости фазовой плоскости, фазовые точки с увелич времени всегда направлены в сторону возрастания координаты х1. Главное св-во фазов. траектории которое обуславливает наглядность фазового портрета состоит в том, что фазовые траектории никогда не пересекаются в не особых точках. Недостатки: 1) Сложность исследования систем выше II порядка. 2) Нет количественных оценок во времени.

 

Постановка задачи: Пусть дана лин-я система которая описыв-ся ур-ем II порядка, где х-это отклонение от заданного состояния d2x/dt2+a1dx/dt+a0x=0 (1) Требуется построить фазовый портрет и исследовать систему на устойчивость качества при различ. элементах a1, a0. процедура исследования линейных систем на фазовой плоскости сост. из след. этапов: I. представление исходной системы в виде Коши ( диф ур-е I порядка ). Введем х=х1, тогда {dx1/dt=x2dx2/dt=-a0x1-a1x2; (2) dx2/dt=d2x1/dt2 =d2x/dt2. II. Состоит в исключение времени. Поделим второе ур-е на первое, чтобы исключить время. dx2/dx1= (-a0x1/x2 )– a1 (3) III.Нахождение решения и построение фазовых траекторий, анализ устойчивости и качества. Вид фазовой траектории зависит от расположения корней хар-го ур-я в соотв-ии с необходимым и достаточным условием устойчивости. Запишем хар-ое ур-е для данной системы: p2+ a1p+a0=0 => p1,2=-a1/2 ± a12/4-a0 (4). Рассмотрим все случаи: Iслуч когда а1=0 а0>0, исходя из представления ур-я (3) с учетом выше написанных коэфф-ов, запишем dx2/dx1= -a0x1/x2, p1,2=± -a0=±j a0 , проинтегрируем: x2dx2=a0x1dx1. x22/2= -a0x12/2+C. x22/2C+x12/(2C/ a0)=1 – уравнение элипса.

Направление на фазовых траекториях определяем следующим образом: 1) выберем точку М0 в I квадранте, для нее харак-но

х1>0, x2>0 => dx1/dx2>0; далее dx2/dx1=-a0x1 <0. Def Особая точка- на фазовой плоскости это такая точка в которой направление движения не определено. Для нас это особая точка типа центр. II случ а1>0, a0>0 => (a12/4)-a0>0. p1=-α1; p2=-α2. Для этого случая мы можем записать решение в следующем виде: x12i=1 ciet, x2=dx1/dt=-Σ2i=1 αiciet.



 


Затухающим апереодич. процесса соотв-ет фазовая траектория вливающаяся в начало координат. поскольку явно разделить переменные не удается (прим. ур-я 3), поэтому построение ведется с помощью следующей таблицы.

Особая точка в данном случае называется устойчивый узел.

 

III случ а1<0, a0>0 =>(a12/4)-a0>0. p1=α1; p2=α2.

x12i=1 cieαt, x2=dx1/dt=Σ2i=1 αicie-αt.

Мы наблюдаем следующий процесс. Он так же может протекать по разному:

 

       
   
 
 


 

 

IV случ a1>0, a0>0, (a12/4)-a0<0; p1,2=-α±jβ.

x1=c1e-αtsin(βt+φ). Тогда производная равна x2=-αc1e-αtsin(βt+φ)+ βc1e-αtсos(βt+φ).

 

       
   
 
 

 


Особая точка типа устойчивый фокус. V случ: a1<0, a0<0, (a12/4)-a0<0; p1,2=α±jβ. x1=c1eαtsin (βt+φ). x2=αc1eαtsin(βt+φ)+ βc1eαtсos(βt+φ).

           
   
   
 
 
 

 

 


Особая точка типа неустойчивый фокус.

 

 

VI случ: а1=0, а0<0; p1,2=±√-а0=±ω0. Пусть -а0= ω02. Исходя из dx2/dx1= (-a0x1/x2 )– a1, получим dx2/dx1= -a0x1/x2 => dx2/dx1= ω0x1/x2; x2dx202x1dx; x22/2= (ω02x12/2)+C; (x02/2C) – (x12/(2C/ω02))=1-гипербола.

 

 


Особая точка называется типа седло.

 

 





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 195; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.158.21.176
Генерация страницы за: 0.006 сек.